Page 200 - matematica-viii
P. 200
198 Arii și volume ale unor corpuri geometrice UNITATEA 5
bazei de 3 m şi înăl- 8. Demonstraţi că în fiecare siloz încap mai mult de 32
ţimea de 4 m, iar metri cubi de cereale. Folosiţi în calcul π ≃ 3, 14 .
generatoarele celor 9. Se doreşte vopsirea exte riorului unui siloz. Consumul
două conuri identice de vopsea este de 250 g⁄ m . Calculaţi cantitatea de vopsea
2
din capetele cilin- necesară, aproximând prin adaos suprafaţa care se vop-
drului sunt de 1,7 m. seşte la un număr natural. Folosiţi în calcul π ≃ 3, 14 .
7. Calculaţi înălţimea Punctaj.Fiecarecerinţă1p.Dinoficiu1punct.
silozurilor (distanţa dintre vârfurile conurilor). Timpdelucru:50deminute.
Activităţi de remediere/consolidare/aprofundare
1. Volumul prismei triunghiulare regulate ABCA’B’C’ 6. Într-o piramidă hexagonală regulată, muchia late-
este de 450 cm , iar latura bazei este de 10 cm. rală formează cu planul bazei un unghi cu măsura de
3
a) Calculaţi aria laterală şi aria totală a prismei. 45°, iar raza cercului circumscris bazei este de 4 cm. Se
b) Dacă punctul M este situat pe muchia CC’ astfel secţionează piramida cu un plan paralel cu baza, ast-
_
3
încât C’M = √ cm , calculaţi: fel încât aria laterală a trunchiului de piramidă obţinut
i. măsura unghiului dintre planele (MAB) şi (A’B’C’) ; prin secţionare să fie triplul ariei laterale a piramidei
ii. distanţa de la C la planul (MAB) . mici formate. Calculaţi:
2. În piramida triunghiulară regulată VABC , AB = 12 cm , a) aria laterală şi volumul piramidei;
_
3
înălţimea VO = 4 √ cm , M este situat pe muchia VA b) aria laterală şi volumul trunchiului de piramidă;
1 _
VM
_
astfel încât = , iar N este mijlocul segmentului BC . c) distanţa de la centrul bazei la o faţă laterală a piramidei.
VA 4
a) Demonstraţi că triunghiul MAN este isoscel. 7. Secţiunea axială a unui con circular drept este un
_
3
b) Calculaţi volumul piramidei VABC . triunghi echilateral de înălţimea de 4 √ cm. Com-
c) Determinaţi sinusul unghiului dintre (MBC) şi (ABC) . pletaţi spaţiile punctate cu răspunsul corespunzător
d) Demonstraţi că distanţele de la punctele B , respec- pentru a obţine propoziţii adevărate.
tiv C la planul (MAN) sunt egale. a) Lungimea razei conului este egală cu ... cm.
3. Piramida hexagonală regulată VABCDEF are apotema b) Lungimea generatoarei este egală cu ... cm.
_
_
2
egală cu 6 √ cm , iar aria laterală este egală cu 72 √ cm . c) Aria totală a conului este egală cu ... cm .
2
6
2
_
3
a) Demonstraţi că AB = 4 √ cm . d) Volumul conului este egal cu ... cm .
3
3
b) Calculaţi volumul piramidei. 8. Un con circular drept are volumul de 432π cm . Un plan
c) Determinaţi măsura unghiului dintre (VAB) şi (ABC) . paralel cu baza, care intersectează înălţimea conului în-
4. Într-un trunchi de piramidă triunghiulară regulată, tr-un punct situat la două treimi faţă de bază, împarte
_
3
latura bazei mari este de 12 √ cm , latura bazei mici este conul în două corpuri. Determinaţi volumele acestora.
_
_
3
6
de 6 √ cm , iar volumul este de 378 √ cm . Calculaţi: 9. O sferă de rază 6 cm şi un cilindru circular drept au
3
a) înălţimea, apotema şi muchia laterală a trunchiului acelaşi volum, iar înălţimea cilindrului este egală cu
de piramidă; diametrul sferei. Determinaţi lungimea razei cilin-
b) aria totală a trunchiului de piramidă; drului şi aria totală a acestuia.
c) aria laterală şi volumul piramidei din care provine 10. Un rezervor de apă are la bază o semi-
trunchiul de piramidă. sferă cu raza de 3 m, corpul principal are
5. Fie piramida patrulateră regulată VABCD , în care forma unui cilindru cu raza egală cu raza
triunghiul VAC este dreptunghic isoscel cu lungimea semisferei şi înălţimea de 5 m, iar acope-
ipotenuzei de 20 cm. Secţionăm piramida cu un plan rişul are forma unui con circular drept cu
paralel cu baza, care intersectează înălţimea la o dis- raza bazei de 3,4 m şi generatoarea de 4 m.
tanţă de 5 cm faţă de vârf. Calculaţi: a) aria secţiunii; a) Calculaţi cantitatea de tablă din care s-a construit
b) aria laterală, aria totală şi volumul piramidei VABCD ; rezervorul.
c) volumul trunchiului de piramidă obţinut în urma b) Rezervorul se umple cu ajutorul a trei pompe, până
secţionări piramidei; la marginea superioară a părţii cilindrice. Ştiind că de-
d) distanţa de la centrul bazei mici a trunchiului de pi- bitul unei pompe este de 50 l/min, în câte ore se umple
22
_
ramidă la o faţă laterală a acestuia. bazinul? Folosiţi în calcul π ≃ .
7
