Page 207 - matematica-viii

Recapitulare finală 205

punctele E şi C . Considerând că antena este aşezată 31. Considerăm prisma patrulateră regulată

perpendicular pe planul grădinii, demonstraţi că ABCDA'B'C'D' , AB = 6 cm şi AA'= 8 cm .

ancora EC este aşezată în unghi drept faţă de latura a) Calculaţi A'B şi A'C .

BC a grădinii. Dacă AB = 12 m şi AD = 4 m, calculaţi b) Demonstraţi că A'B ⊥ BC prin două metode, una

lungimea minimă a unui cablu care să facă legătura care implică raţionament şi una care implică calcul.
între vârful antenei şi colţul B al grădinii. c) Demonstraţi că AC ⊥ (BDD') .
25. Maria a decupat din carton un pătrat ABCD cu 32. Considerăm piramida patrulateră regulată
diagonala de 8 cm, iar la intersecţia diagonalelor a SABCD , punctul O centrul bazei ABCD şi mijlocul M

aşezat, perpendicular pe planul pătratului, o tijă de al segmentului BC . Demonstraţi că:
1 cm. a) SO ⊥ AC ; b) SO ⊥ (ABC) ;
a) Unde va trebui Maria să fixeze o pioneză pe latura c) AC ⊥ (SBD) ; d) BC ⊥ (SOM) .
AD, astfel încât dacă aşează o riglă între pioneză şi 33. Cubul ABCDA’B’C’D’ are latura egală cu 8 cm.

vârful tijei, rigla să fie perpendiculară pe latura Calculaţi sinusul unghiului dintre diagonala cubu-
pătratului? _
d(A, (A’BD))

b) Dacă Maria vrea să taie un băţ care să înlocuiască lui şi planul bazei şi valoarea raportului d(C’, (A’BD)) .
rigla, ce lungime va trebui să aibă acesta? 34. Un paralelipiped dreptunghic are lungimea de
26. Un cub are latura de 6 cm. Determinaţi lungimea 4 cm, lăţimea de 3 cm şi înălţimea de 12 cm. Deter-
diagonalei, aria laterală, aria totală şi volumul cubului. minaţi lungimea diagonalei, aria laterală, aria to-
tală şi volumul paralelipipedului.
27. O prismă hexagonală regulată ABCDEFA’B’C’D’E’F’
are muchia laterală şi muchia bazei de lungime 5 cm 35. Un tetraedru regulat are latura de 6 cm. Calcu-
şi O centrul bazei ABCDEF. Calculaţi măsurile un- laţi aria laterală, aria totală şi volumul tetraedrului.
ghiurilor dintre: 36. Un cilindru circular drept are raza de 4 cm şi ge-

a) B’C’ şi CE ; b) B’E’ şi AD ; c) F’E’ şi A’O ; neratoarea de 5 cm. Calculaţi aria laterală, aria to-
d) B’B şi D’E’ ; e) A’O şi D’D ; f) BO şi F’E’ . tală şi volumul cilindrului.

28. Sorin are curtea de forma dreptunghiulară ABCD , 37. Un con circular drept are raza de 6 cm şi înălţi-
cu AB = 12 m, BC = 5 m. De sărbatori, el înalţă în col- mea de 8 cm. Calculaţi lungimea generatoarei, aria

ţul D al curţii un stâlp DE cu înălţimea de 4 m, din laterală, aria totală şi volumul conului.

vârful căruia vrea să ducă 2 cabluri luminoase spre 38. O bucată de lemn are forma unui paralelipiped
colţurile B şi A ale curţii. dreptunghic, ABCDA’B’C’D’ , cu ariile feţelor ce conţin
a) Demonstraţi că firul AE este aşezat perpendicular punctul A egale cu 30 cm , 24 cm , respectiv 20 cm .

2
2
2
pe marginea AB a curţii. a) Calculaţi lungimea diagonalei paralelipipedului
b) Calculaţi cantitatea minimă de cablu luminos dreptunghic.
necesar împodobirii curţii de sărbători. b) Determinaţi aria totală şi volumul unui cub con-
29. Mihai a instalat în colţul A al grădinii sale un pa- struit din paralelipiped, ştiind că una dintre feţele

ratrăsnet de 12 m. acestuia este faţa cu aria de 20 cm .
2
a) Dacă grădina lui Mihai are forma unui romb ABCD , c) Determinaţi raportul procentual dintre cantitatea

demonstraţi că triunghiul MOD este dreptunghic, de material a cubului obţinut anterior şi cantitatea
unde O este punctul de intersecţie al diagonalelor, de material rămasă din paralelipipedul dreptunghic
iar M este vârful paratrăsnetului. după construcţia cubului.
b) Calculaţi distanţa de la vârful paratrăsnetului la 39. O piramidă triunghiulară regulată are latura
_
colţul D al grădinii, dacă AC = 24 m şi BD = 2 m. bazei de 6 √ cm şi înălţimea de 4 cm. Determinaţi:

3

30. Considerăm prisma triunghiulară regulată a) lungimea apotemei şi a muchiei laterale;
ABCA'B'C' , AB = 6 cm , AA'= 9 cm şi punctul M , mij- b) aria laterală, aria totală şi volumul piramidei;

locul segmentului BC . Demonstraţi că: c) sinusul unghiului dintre o faţă laterală şi planul
a) triunghiul A'BC este isoscel; bazei;
b) AM ⊥ (BCC') ; d) distanţa de la centrul bazei la o faţă laterală;
c) BC ⊥ (AMA') . e) distanţa de la punctul A la planul (VBC) .