Page 212 - matematica-viii
P. 212
210 Indicații și răspunsuri
pg. 62. RECAPITULARE. 1) a) x ∈ ℝ − {0} ; b) x ∈ ℝ − {− 1} ; c) x ∈ ℝ ; d) x ∈ ℝ − {− 1; 1} ; e) x ∈ ℝ − {− 1} ; f) x ∈ ℝ − {− 10; 10} .
5 _
4 _
5 _
1 _
1 _
5 _
2) a) 0; b) 0; c) -1; d) 2; e) ∅; f) − ; g) 0; h) −1; 2; i) 2; j) −5; 5. 3) a) −5; ; b) 3; 1; c) 1; ; d) −3; – ; e) 3; ; f) – ; 0; g) 3; 2; h) –1;
3
7
2
3
2
2
_
3x
x + y
3x + 1
x + 5
3
x − 1
_
_
_
_
x _
_
1
b _
_
_
;
k) ; l) ; m) ; n)
0,5. 4) a) ; b) ; c) ; d) ; e) a ; f) g) _ ; h) x − 2 ; i) x(x + 1) ; _ ; x _ 2 x _ 3 x _ 3 x + √ ; o) x(2x − 1) p) x − 3 2
;
j)
;
_ _
x − 3
a
3x − 1
2x + 1
x + 2
2
2y
x − 5
2 x
3c
3
x − √
3x + 1
_
_
_
;
,
q) x + 2 ; r) x + 2 ; s) 3(x − 3) ; t) x + 1 u) (x − 1) (x + 2) ; v) x − x + 1 ; x) x − 1 . 5) a) _ x ∈ ℝ − {− 2; −1; 0} ;
3
2
x − 2
− ( x − 2x + 3)
x(x + 1)
2
2(x − 1)
− 3x − 1
_
_
_
,
,
,
b) 0, x ∈ ℝ − {− 1; 1} ; c) _ x ∈ ℝ − {− 2; 0; 2} ; d) x + 4 x ∈ ℝ − {− 3; 3} ; e) 2x − 1 , x ∈ ℝ − {− 1; 1} ; f) 2 − x
x(x − 2) 6(x + 3) x − 1 x(2x + 1)
x − 2
1 _
_
2
1 _
_
1 _
x + 1
x ∈ ℝ − { − ; 0; } ; g) , x ∈ ℝ − {− 2; 2} ; h) _ , x ∈ ℝ − { − 2; ; 2 } ; i) x − 3 x ∈ ℝ − {− 3; − 1; 3} ; j) _ , x ∈ ℝ − {− 2; −1; 1} ;
,
x − 1
2 − x
x + 2
2
x + 3
2
2
x − 5 x − 4
k) _ , x ∈ ℝ − {− 5; −2; 5} . 6) a) x ∈ ℝ − {− 3; 3; 4} ; b) E(x) = _ ; c) x ∈ {− 4; 2; 4; 10} . 7) a) x − 9x + 20 = 0; b) x − 4x + 4 = 0 ;
2
2
x + 1
x + 3
_ 5 _ 5 _ _ _
c) x − 2, 25 = 0; d) x − 4x − 1 = 0 . 8) 1 + √ . 9) Δ = 4 m ≥ 0; 3m, m . 10) a) − 3; 0 ; b) − ; ; c) ∅ ; d) − √ ; √ ; e) − 3; 4 ; f) − 3; 7 ;
2
2
2
2
2
2
_ _ _ 4 4
3 ± √
√ 113
5
_
;
;
g) _ h) − 3 ± √ 17 _ 12) 18 și 19. 13) 20; 80.
i) − 1; 1 ; j) − 8; 3 . 11)
.
2
2
8
pg. 63. Test de autoevaluare. 1) a) 4x ; b) x; c) 4 x + 6x + 3 ; d) 2 x + 7x − 15 . 2) a) x + 2x + 1 ; b) 4 x − 1 ; c) 36 x − 48x + 16 ;
2
2
2
2
2
_
_
d) − 5 x + 5 . 3) a) 4 x (x − 2) (x + 2) ; b) (x + 1) (x + 9) ; c) 2(2x + 3) (x + 3) ; d) (x − 3) (x − √ ) (x + √ ) . 4) b) x ∈ {− 1; 0; 2; 3} ;
6
6
3
2
n(n − 1) 3 _ _ _ _ _
Test de evaluare. 1) a) − 4; − ; b) –4; c) ∅ ; d) − √ ; √ . 2) a) 3(x − 4) (x − √ ) (x + √ ) ;
c) x ∈ (− ∞; 1) - {-2} ; d) S = _ . 3 3 2 2
4 2
_
_
2 _
_
;
b) x(x − 1) (3x + 2) ; c) x(x − 1) (2x + 3) ; d) (x − 1) (x + 1) (x − 2) (x + 2) . 3) a) ; b) x + 3 ; c) x + 3 d) (x + 3) (x − 1) 4) a) x ∈ ℝ −
.
x
x − 1
(x + 1)
2
(x − 1) (x − 3)
x − 3
3 _
1 _
{− 3; −1; 3} ; b) E(x) = _ c) E(−2) = − 5, E 2 = − ; d) x ∈ (− ∞; −3) .
;
x + 3
( 5)
14
pg. 71–72. 1) O funcție f : A → B (se citește f definită pe mulțimea A cu valori în mulțimea B) este formată din două mulțimi
nevide A numită domeniul de definiție și B numită mulțimea de valori, precum și o lege de corespondență prin care se asociază
fiecărui element din mulțimea A un singur element din mulțimea B. 2) a) {− 3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4} ; b) ℝ ; c) f(x) = x − 2 ;
d) {− 5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2} . 4) a) {− 2; −1; 0; 3; 4} , {0; 1; 4; 9; 16} ; f(x) = x ; b) {− 2; 0; 2; 4; 6; 8; 10} , {−10; −8; −6; −4; −2; 0; 2}
2
f(x) = − x ; c) {0; 1; 2; 3; 4} , {−4; −3; −2; −1; 0} , f(x) = x − 4 ; d) {− 3; −2; −1; 0; 1; 2; 3} , {− 10; −8; −6; −4; −2; 0; 2} ; f(x) = x − 1 .
1 _ 1 _ 1 _
6) a) {− 2; −1; 2; 7} ; b) {− 8; −1; 0; 8; 27; 64} ; c) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 9} ; d) {−2; −1; 0; 1; 2; 3} ; e) − 1; ; ; ; 1 . 7) a) {− 3; −2; 0; 1; 3} ,
_ _ { 4 3 2 }
1 _ 1 _
6
6
crescătoare; b) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} , descrescătoare; c) {− 3; − √ ; −2; 0; 2; √ ; 3} ; d) − 1; − ; ; 1 , descrescătoare;
}
3 2
{
e) {− 3; −2; −1; 0; 1; 2; 3} . 9) a) A, D ∈ G ; b) M, N ∈ G . 11) a) 9; b) 101 ; c) (n + 1) ; d) (2n + 1) ; e) (3n + 2) . 12) a) 1; 0; 1; 4; 0.
2
2
2
2
f
f
20
b) m = 5, n = 10 ; c) 8; ∅ ; d) 10. 13) a) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ; b) m = 0, n = 10, p = 20 ; c) _ . 14) a) -2001; b) dacă P ≠ 0 atunci nu
201
există numere pentru care f(n) = 0 , adică toate valorile funcției sunt –1 sau 1. Suma a 2001 numere de –1 sau 1 nu poate fi egală
cu 0; c) B = {− 1; 1} . 15) a) 3; 12; 21; 217; b) 4; c) numere prime.
1 _
5 _
1 _
pg. 81–82. 1) ℝ , ℝ , 1 și –5, –3, 10, 5, A(0; −5) , B(5; 0) . 2) A ∈ G . 3) a = 2; b = − 4; c = ; d = 1, d = − . 4) f(x) = − x + 1 . 5) − ;
2
2
5
f
13
_
5 _
2 _
3 _
2 _
− ; ∅ ; ∅ . 6) a) f(x) = x crescătoare; b) f(x) = − 1 constantă; c) f(x) = − x + descrescătoare; d) f(x) = x . 7) A ∉ G , B ∈ G , x = .
3
5
5
3
2
f
f
3 _ 3 _
1 _
3 _
3 _ 9 _
8) (− ∞ ; ]. 10) A(3; −3) , B ( − ; 6 ) , C(1; 1) , D(3; −3) , E ; , F ; . 11) da, nu, nu, da. 12) f(x) = 2x − 1, g(x) = 3x − 3 .
(4 2) (5 5)
2
2
_
1 _
3 _
5 _
3 _
2
13) A(2; 0) , ∅ . 14) b) A − ; − ; c) ; +∞ , (3; +∞) , (− ∞; − ]. 15) f(x) = 3x − 8, f(x) = |x + 4| , f(x) = 2x − 2 √ − 1,
4)
(3
)
( 4
4
_
f(x) = |5 − 2x| , f(x) = (x − 4) + 4 . 16) g(x) = 3x − 3, A(2; 3) . 17) A(0; 4), B(−4; 0) , A = 8 u , 2 √ u, 1, (− ∞ ; −4] . 18) f(x) = − 4x + 20 ,
2
2
2
_
_ _ 4 √
5
1 _ 1 _
1 _
A − C − D coliniare, A = 4 u , P ABOD = √ 17 + 6 + 2 √ u, _ u, CD = AD. 19) a) 2; c) a = ; c) M ; , M(1; −1) . 20) a) − a + 4; 4;
5
2
3
(3 3)
COD
_ 5
2
3a + 4 ; b) −1; d) 4 √ u. 21) a) a = 1, b = 2 ; c) ΔOAB, ΔOCE dreptunghice isoscele. 22) b) x = 2 ; c) ΔMQP , MQ = 5 u, MP = 5 u,
_
5
deci triunghiul este isoscel. MH ∩ QP = {A(2; − 1)} ; AQ = PA = √ u, deci MA mediană, deci înălțime; PO și MA sunt înălțimi, deci
_ _
x ⋅ 2 √ 26
2 ⋅ 8
_
_
și QH înălțime. 23) a) a = 5 , b = 2 ; c) AB = 2 √ 26 u, AD ⊥ Oy ; A = A − A = 2 ⋅ 10 − = 10 − 8 = 2 u ; A = _ ⇒
2
2
2
2
ACD
ABC
_
ABD
ABC
_
_
_
_
5
⇒ x = = √ 26 u. 24) a) a = 2 , b = 2 ; c) MN = √ , NP = c + 1, MP = √ c + 4 . Din teorema lui Pitagora obținem c = 4.
2
2 _
√ 26 13
25) 0; 10; 4; 12.
pg. 92. RECAPITULARE. 1) a) Im f = {−16; −6; 4; 9; 19; 29; 39} ; b) Im f = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24} ; c) Im f = {−2; −1; 2; 7} ;
d) Im f = {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} ; e) Im f = {−7; −3; −1; 0; 2; 3; 5; 9} ; f) Im f = {−11; −8; −5; −2; 1; 4; 7; 10; 13} . 2) a) f(0) = − 4, f(−2) =
5 _ 5 _
5 _ 5 _
= − 16, f(3) = 14, f(5) = 26 ; b) –16; c) 101 ⋅ 296 . 3) a) A(5; −5) ; b) A(−1; 7) ; c) A ; ; d) A ; ; e) A (2; 1) ; f) A (a; 5 − 2a) , a ∈ ℝ .
(3 3)
(4 4)
5 _
5) a) A ; 0 , B (0; 5) ; b) A (− 3; 0) , B (0; 9) ; c) A (5; 0) , B (0; 5) ; d) B (0; 5) ; e) A (− 1; 0) , A’(1;0), B (0; −1) . 6) a) 2; b) –2; 2; c) ∅ ; d) 6;
(3
)
e) –2. 7) a) ∅ ; b) –1; c) ∅ ; d) 5; e) ∅ . 8) 5. 9) 4. 10) f(x) = 2x + 1 . 11) f(x) = 2x sau f(x) = 3x − 2 . 12) da. 13) 2. 14) a) x = 2 ,
x ∈ (− ∞ ; 2 ]; b) x = − 3 , x ∈ [− 3; + ∞) ; c) ∅ , ∅ ; d) x = − 1 , x ∈ [− 2; − 1] . 15) A(1; 5) .
