Page 216 - matematica-viii

214 Indicații și răspunsuri

_
3
pg. 157. 1) a) paralelă cu planul; b) secantă cu planul; c) secantă și perpendiculară pe plan. 2) 60° . 3) a) 12 cm; b) 6 √ cm;

_
_
_
3 _

2

2
3
c) 6 √ cm; d) 6 cm. 4) a) 9 cm; b) 4 √ cm; c) 5 √ cm; 16 cm. 5) . 6) 9/16. 7) a) ∢SAO ; b) ∢ASO ; c) ∢SMO ; d) ∢BSM . 8) a) ∢SAO ;

4
_
_

b) ∢SMO ; c) ∢BSM . 9) 45°. 10) a) ∢D'BD = 45° ; b) ∢D'BC'= 30° ; c) tg D'AD = √ ; d) D'O = 4 √ 10 cm . 11) a) ∢C'AC = 60° ;
2

_
_ _ √
3
_
3

b) tgCMC'= 2 √ ; c) AM ⊥ BC , AM ⊥ BB' etc.; d) MC'= 4 √ 13 cm ; e) sin AC'M = .

4
pg. 160-161. 1) nu; AO ⊥ d și BO ⊥ d . 2) a) ∢FAD , AB muchia diedrului, FA ⊥ AB , FA ⊂ (ABEF) și DA ⊥ AB , DA ⊂ (ABCD) ; ∢EBC

_

2

etc.; b) 10 √ cm ; c) 60° ( ΔACE echilateral). 3) a) BB' muchia diedrului, AB ⊥ BB' , AB ⊂ (ABB'A') , CB ⊥ BB' , CB ⊂ (BCC'B') ;

b) A'B' muchia, AA'⊥ A'B' , D'A'⊥ A'B' etc.; c) BC muchia, A'B ⊥ BC , AB ⊥ BC etc. 4) a) AB este muchia diedrului, CM ⊥ AB ,
CM ⊂ (ABC) , DM ⊥ AB , DM ⊂ (ABD) ; b) AN ⊥ CD , BN ⊥ CD etc. 5) a) BC muchia, VM și OM perpendicularele etc.; b) VB muchia, se

demonstrează că VB ⊥ (EAC) , deci CE ⊥ VB etc.; c) VO muchia, AO și BO perpendicularele etc. 6) a) AA’ muchia, B’A’ și C’A’ per-

pendicularele etc.; b) ΔA'BC isoscel, deci A'M ⊥ BC , AM ⊥ BC , BC muchia etc.; c) NP muchia, se demonstrează că A'R, AR ⊥ NP etc.
7) Dacă C'= p r C , se demonstrează că AB ⊥ (BCC') , deci C'B ⊥ AB , CB ⊥ AB , ∢CBC'= 30° . 8) a) BD perpendiculară pe AD și AM

masă
etc.; b) i) (MAB ) ∩ (MAC ) = AM , BA ⊥ AM , BA ⊂ (MAB) , CA ⊥ AM , CA ⊂ (MAC) , ∢ ((MAB ) , (MAC)) = ∢BAC = 60° ;

ii) ∢ ((MBC ) , (ABC)) = ∢MDA , ΔMAD dreptunghic isoscel, 45°. 9) Se demonstrează că ∢ ((DAC ) , (BAC)) = ∢DOB , O centrul pătra-

_
_
_

5

tului; a) 4 cm; b) 4 √ cm . 10) ∢ ((ABD ) , (ACD)) = ∢BDC = 60° . 11) a) ∢EBA = 60° ; b) 5 √ cm ; c) √ 3 ⁄2 ; d) 50 cm . 12) a) ∢ABC = 60° ;

2

2

b) MB ⊂ (MAB) , MB ⊥ (ABC) ; c) CA ⊥ AB, MB etc.; d) ∢MAB = 45° .
_ _

pg. 164–165. 2) a) B’A , B’O , O centrul pătratului; construim BN ⊥ AM , B’N ⊥ AM ; b) B ’ A = 8 √ cm, B’O = 4 √ cm,
6

2

_
_
_
AM = 4 √ cm , BN = 8 √ 5 ⁄5 cm , B’N = 8 √ 30 ⁄5 . 3) a) congruență de triunghiuri; b) mediană în triunghi isoscel sau T3 ⊥ ;

5
_

c) DM = 12 cm ; d) dacă AE ⊥ DM , d (A, (DBC)) = AE = 8 √ 5 ⁄3 cm cu reciproca a doua; e) sin DMA = 2⁄3 . 4) a) cu T3⊥, A’M ⊥ BC ,

_
_

2

A’M = 10 cm ; b) cu T3⊥, C’M ⊥ AM , C’M = 5 √ cm ; c) Dacă AN ⊥ A’M , d (A, (A’BC)) = AN = 5 √ 3 ⁄2 (cu reciproca a doua);

5) a) Se aplică T3⊥; b) Construim AN ⊥ BD etc. 6) Se aplică prima reciprocă. 7) Dacă O este intersecția diagonalelor, AO ⊥ CD ,
_
_

aplicând teorema obținem MO ⊥ BD , 3 √ cm ; construim AN ⊥ BC etc. și ținem cont că ΔABC este echilateral, 3 √ cm .

5

7

_
_
_

2

8) a) A’B = 6 √ cm ; b) A’D = 2 √ 10 cm ; c) Construim AE ⊥ BD etc., A’E = 6 cm ; d) Construim B’F ⊥ BC’ etc A’F = 12 √ 10 ⁄5 .

_
_

2

2

9) a) Construim OD ⊥ AB , d(C, AB) = CD = 6 √ cm ; construim OE ⊥ CD , d (O, (ABC)) = OE = 3 √ cm ; b) OA ⊥ d , d(C, d) = CA =
_
_

= 6 √ cm . 10) Fie ME ⊥ AB , E ∈ AB , d(N, AB) = NE = 4 √ cm ; fie MF ⊥ AD , F ∈ AD , d(N, AD) = NF = 5 cm . 11) cu reciproca 1 se

5
2

_

demonstrează că BF ⊥ AC etc. 12) a) dacă AA’ ⊥ BC , A’ ∈ BC , d(M, BC) = MA’ = 12 cm ; b) AC ⊥ CD , d(M, CD) = MC = 6 √ 13 cm ;
_
_
_

5

3
c) 12 cm; d) 6 √ cm ; e) Se demonstrează că planele sunt paralele, d ((MAB) , (NDE)) = AE = 12 √ cm . 13) a) 10 cm; b) 5 √ 3 ⁄2 cm .

_ _ _ _ _
pg. 166. RECAPITULARE. 8) a) 6 cm; b) 4 √ 6 ⁄3 ; c) √ 11 ⁄6 . 11) b) 9 cm; c) 1/3; d) 12 √ 34 ⁄5 ; e) 7,2 cm; g) 6 √ 26 ⁄13 ; 12) √ 2 ⁄2 .

_
2 √

5
__

pg. 167-168. Test de autoevaluare. 1) c); 2) b); 3) d); 4) c); 5) a); 6) Teorema lui Pitagora în ΔBB’M ; 7) cos MBB’ = ;
5
8) sin A’MB’ = = 4⁄5 ; 9) NP ∥ BC’ , NO ∥ AB etc. Test de evaluare. 1) c); 2) b); 3) d); 4) b); 5) b); 6) Teorema lui Pitagora în ΔSAO ;

_

7) Se aplică reciproca teoremei lui Thales: MN ∥ AB , NP ∥ BC etc.; 8) 14⁄3 cm ; 9) 7/4. Consolidare şi aprofundare. 1. a) 2 √ 13 cm ;

b) 3/2; c) 48 cm . 2. congruența triunghiurilor dreptunghice POA și POB . 4. a) AM ⊥ (MEF) și AM ⊥ (ABC) ;

2

b) d ((MEF ) , (ABC)) = AM = 5 cm , folosind demonstrația punctului anterior; d (B, (MEF)) = d (A, (MEF)) ; c) BE = 5 cm = d (B, (MEF)) ,

_
_
_
_
_
_

deci BE ⊥ (MEF) , BE ∥ AM și concluzia. 5. a) ½; b) 8 √ 2 , 8 √ 5 . 6. a) 2 √ 7 ⁄7 ; b) √ 3 ⁄2 ; c) 4 √ 3 cm, 8 cm. 7. a) 4 cm; b) 4 √ 3 cm ;

_
_

c) 60°; d) 2; e) 8 √ 5 ⁄5 . 8. b) 90°; c) 6 √ cm ; d) 45°.
2
_ _ _ _ _ _

pg. 174. 1) a) 12 cm, 6 √ cm , 12 √ cm ; b) sin VAO = √ 21 ⁄7 ; c) tgBVM = √ 3 ⁄2 ; d) 3 √ cm ; e) 9 √ cm ; f) i. se aplică reciproca
7

3

3

3

_
_
_ _ _ _ 6 √ 78 √ 42 _
_
teoremei lui Thales; ii. 3 √ cm ; iii. 4 √ cm , 3 √ cm . 2) a) 60°; b) 45°; c) 3 √ cm ; d) _ cm; e) . 3) a) 12 cm; b) 6 √ cm;

7

2

3

3
3

13
7
_
_
_ _ 6 √ 42 _ 4 √ _ _ _
3
6
_

.
6

c) 6 √ cm ; d) 60° ; e) 3 √ cm; f) _ cm; g) √ ; h) _ ; i) 2 √ 4) a) h = 12 cm, a = 6 √ cm, m = 6 √ cm; b) 2; c) 45°.

6

6

5

6
7
7
7
p
_ _ _ _
2
2 √
5) a) 6 cm, 3 √ cm , 2 √ cm ; b) √ ; c) _

.
2
3

6

3
_ _

2
2
3

3
2
3
pg. 178–180. 1) a) 10 √ cm; b) 600 dm ; c) 125 m ; d) 6 dm; e) 6 dm; f) 64 dm . 2) a) 486 cm ; b) 9 cm; c) 728 cm . 3) a) 6 √ cm;
3
_
_
_

2
6

b) 6 √ cm; c) 288 cm , 432 cm ; d) 432 √ cm . 4) a) 8 cm; b) 8 √ cm; c) 256 cm , 384 cm ; d) 512 cm . 5) a) 8 cuburi; b) 480

3

2
2
3
2
2
3
_
2

3
g. 6) da. 7) 40,625 kg. 8) 96 dm , 63 dm . 9) a) 13 cm; b) 48 cm; c) 340 cm ; d) 60 cm ; e) 5 cm. 10) a) √ 109 cm; b) 144 cm ;
2
3
3

c) 84 cm ; d) 180 cm . 11) 250 cm , 250 cm . 12) a) de 8 ori; b) de 2 ori. 13) 0,9 m . 14) 7,18%. 15) a) 7,5 cm; b) 5 cm.
2
2
3
2
3
_
_
_
3

3

3
2

3

2

16) 12 √ cm, 72(2 + 3 √ ) cm, 432 √ cm . 17) 36 hl. 18) a) 0,948416 m ; b) aproximativ 95 g. 19) 768 cm , 1152 cm .

3

_ _
3
20) a) 80 cm ; b) 8 cm; c) 104 cm; d) 80 cm ; e) 15 cm; f) 6 cm; g) 20 m; h) 10 cm. 21) 18(6 + √ ) cm , 54 √ cm . 22) 12 cm,

3

3
2
3
2
_
_
_
_
_
_
3
25 √

3

( 180 + _ ) cm , 75 √ cm . 23) 250 √ cm . 24) (36 + 8 √ cm . 25) (96 + 16 √ cm , 32 √ cm . 26) a) 68 m; b) 20;

3)

3)
3

6

2
2
2
3
3
3
2
27) a - 4, b - 3, c - 1, d - 5, e - 2. 28) 192 cm , 264 cm . 29) 294 cm . 30) 62,56 m . 31) 320 cm , 384 cm .
3
2
2
2
2
2
_
_
2
6
2 √
2 _
6

32) 64 _ + 1 cm , 256 √ 3 _ 3 _ 2 _
cm . 33) a) 144 √ cm ; b) 4 √ cm; c) 156 cm; d) 480 cm ; e) 20 cm; f) 4 cm; g) 4 √ cm.
3

3
3
( 3
)