Page 214 - matematica-viii
P. 214
212 Indicații și răspunsuri
pg. 125. 1) a) AD , A’D’ , B’C’ ; b) AB , DC , BB’ , CC’ ; c) AA’ , DD’ , A’B’ , C’D’ ; d) A’D’ . 2) a) paralele; b) necoplanare; c) concurente;
d) necoplanare; e) concurente; f) necoplanare. 3) a) AB ∥ CD și CD ∥ C’D’ ; b) Se folosesc: AB = CD = C’D’ și paralelismul de la
punctul anterior; c) Din punctul anterior; d) BC’ și B’C sunt concurente și nu se pot duce două paralele la aceeași dreaptă prin-
tr-un punct. 4) Se folosește proprietatea diagonalelor unui paralelogram. 5) a) paralele; b) necoplanare; c) necoplanare;
d) paralele; e) necoplanare; f) paralele; g) paralele; h) concurente; i) concurente. 6) a) BENM dreptunghi și concluzia; b) AD și
MN sunt paralele și congruente, AMND paralelogram și concluzia; c) MP ∥ AC (linie mijlocie) și AC ∥ DF. 7) a) necoplanare, con-
curente, necoplanare, necoplanare, paralele, paralele; b) folosind propietatea liniei mijlocii în triunghi se demonstrează că
laturile opuse sunt paralele; c) MN este jumătate din AC și NP este jumătate din BD, MNPQ romb și concluzia. 8) a) Ambele sunt
paralele cu linia mijlocie; b) AB și CD sunt paralele, deci coplanare, așadar și AD și BC sunt coplanare. Cum ABCD (după îndoire)
este un trapez, concluzia. 9) AB ∥ CD implică faptul că cele patru puncte sunt coplanare, și se verifică proprietatea paralelogra-
mului (laturi opuse paralele și congruente). 10) a) tranzitivitate; b) se demonstrează că CDFE este paralelogram; c) MN linie
mijlocie în ΔBDF , MN ∥ DF , tranzitivitate și concluzia. 11) a) EF ∥ CD ∥ AB , 0°; b) AB ∥ CD , 90°; c) FC ∥ ED , 60°; d) BC ∥ AD , triun-
ghiul EDA este echilateral, 60°. 12) a) 90°; b) 45°; c) 0°; d) 90°; e) 90°; f) 60°. 13) a) DC ∥ AB , 60°; b) 60° (triunghi echilateral);
c) 0°, dreptele sunt paralele; d) 90°; e) 90°, se demonstrează că ΔSAC este dreptunghic; f) ΔSAC isoscel, SO mediană și înăl-
țime, 90°. 14) MN ∥ AC (linie mijlocie), 0°, 60°, 60°. 15) MP ∥ AC , NQ ∥ BD și concluzia. 16) a) DD’ ∥ BB’ , ∢ (CM, DD’) = ∢CMB = 45° ;
MB
2 _
b) D’C’ ∥ AB , ∢(AM, D’C’) = ∢MAB , tg MAB = _ = .
AB 3
pg. 131–132. 1) a) Inclusă în (ABC), (ABB’); secantă la (BCC’), (ADD’); paralelă cu (DCC’), (A’B’C’); b) Inclusă, secantă, para-
lelă, paralelă, secantă. 2) a) paralelă; b) inclusă; c) secantă; d) secantă. 3) a) AD, AA’, DD’, A’D’, AD’, A’D; b) CB, DA, etc; c) A’B’,
B’C, CD, A’D, A’C, B’D. 4) a) paralelă; b) paralelă; c) secantă – folosind reciproca teoremei lui Thales. 5) a) CD ∥ AB , AB ⊂ α ;
b) nu; d) DN ⊂ (DAB) , (DAB) ∩ α = AB , deci E ∈ AB . 6) a) FE ∥ AB , AB ⊂ (ABC) ; b) AB ∥ CD , CD ⊂ (CDE) ; c) O ∈ AC, AC ⊂ (ACE) ,
1
O ∈ AE, AE ⊂ (ACE) și concluzia; d) O O linie mijlocie în ΔBAF , O O ∥ FD și concluzia. 7) AB ∥ α , AB ⊂ (NAB) , (NAB) ∩ α = EF , deci
2
1
1
2
2
AB ∥ EF ; idem AB ∥ CD și concluzia; MN ∥ EC . 8) a) proprietatea liniei mijlocii; b) în triunghiul SAC, dreptele NP și NR sunt diferite
și NP ∥ AC , deci NR se intersectează cu AC și concluzia. 9) FO este linie mijlocie în triunghiul ACE, unde O este intersecția dia-
gonalelor paralelogramului, și concluzia. 10) a) B G ∩ D G ∩ AC în mijlocul segmentului AC și concluzia; b) reciproca teoremei
1
2
lui Thales, G G ∥ MN și concluzia; c) Se folosește punctul anterior. 13) CD ∥ FG și DE ∥ GH (paginile sunt dreptunghiuri). 15) a) NP
1 2
dreapta comună; b) trei puncte comune ( N , P și R ); c) Se aplică proprietatea liniei mijlocii în triunghi. 17) a) AB ∥ DE și BB’ ∥ EE’ ;
b) BC ∥ AD și CC’ ∥ DD’ ; c) BD ∥ AE și DD’ ∥ AA’ ; d) Dreapta de intersecție este determinată de centrele celor două baze;
e) BB’ ∥ EE’ și se aplică teorema acoperișului. 18) a) CC’ ∥ (ABB’A’) și (ABB’) ∩ (MCC’) = MN , deci MN ∥ CC’ ; b) Bazele prismei
sunt paralele și sunt tăiate de planul (MCC’). 19) Punctul V aparține intersecției și fie d dreapta de intersecție a celor două plane,
V ∈ d ; AD ∥ BC , AD ⊂ (VAD) , BC ⊂ (VBC) și, aplicând teorema acoperișului, d ∥ AD . 20) a) MN ∥ B’D’ ∥ BD și NP ∥ AC (linii mijlocii)
și concluzia; b) unghiuri cu laturi paralele (diagonalele bazei sunt perpendiculare). 22) a) Se folosește teorema fierăstrăului
ținând cont de faptul că fețele laterale opuse sunt paralele.
pg. 137. 1) Idem demonstrația primei probleme rezolvate din lecție. 2) Secțiunea este pătrat congruent cu pătratul ABCD.
3) a) Se demonstrează că AB ∥ A’B’ și BC ∥ B’C’ ; b) Secțiunea prismei cu planul (A’B’C’) este pătratul A’B’C’D’ și AB = AA’ = 10 cm .
4) a) O O ∥ AC ∥ O O ; b) O O ∥ BD și O O ∥ AC ; c) MNPR este dreptunghi, O , O , O și O sunt mijloacele laturilor lui, raportul
1 2 3 4 2 3 1 2 1 2 3 4
ariilor este ½. 5) a) Idem prima problemă rezolvată din lecție; b) Dacă (EFG) ∥ (BCC’) . 6) Nu, bazele nu sunt figuri asemenea;
doar cu rigla se constată că muchiile laterale ale desenului nu se intersectează. 9) Două trunchiuri de piramidă. 10) Se demon-
81π
_
strează (din rapoarte) că muchia laterală a piramidei din care provine trunchiul are lungimea de 9 cm. 11) cm . 12) 20 cm.
2
4
13) Oricare două muchii laterale se intersectează în vârful piramidei din care provine trunchiul. Două drepte concurente de-
AM
_
_
2 _ _
2 _
4 _
2 _
termină un plan. 14) 11,25 cm. 15) 12,5 cm. 16) _ = ⇒ AM = . P MNP = , A MNP = . 17) l = 8 cm, m = 5 cm.
MB 3 AB 5 P 5 A 25 tr
BCD
BCD
pg. 138–139. Test de autoevaluare. 1) c). 2) b). 3) b). 4) a). 5) d). 7) MN ∥ AB (linie mijlocie), AB ⊂ (ABC) . 8) MN ∥ AB ∥ CD ,
NO ∥ VD etc. 9) MNPR este pătrat, raportul laturilor celor două pătrate este ½, deci raportul ariilor este ¼. Consolidare şi
aprofundare. 1) a) paralelă, secantă, paralelă; b) P este pe intersecția planelor (ABC) și α , deci pe CD; DP = AB și concluzia.
2) a) 90°; b) 30°; c) 0°; d) 60°; e) 90°; f) 60°. 3) a) EF ∥ A’C’ ∥ AC și concluzia; b) ½; c) BD ∥ B’D’ ∥ EG , unde G este mijlocul seg-
_
_ _ _ 3 √ 10
mentului A’B’ , ∢(AE, BD) = ∢AEG ; în triunghiul isoscel AEG, AE = AG = 2 √ , EG = 2 √ , înălțimea AH = 3 √ , sin AEG = _
2
;
5
2
10
3 _
d) AG ∥ DF și se folosește același triunghi, sin EAG = . 4) a) Aplicând reciproca teoremei lui Thales, EF ∥ CD , AM ⊥ CD și conclu-
5
zia; b) Trece prin A și este paralelă cu CD și EF. 5) a) ED ∥ B’C ; b) Nu, dreptele AE și A’B’ se intersectează. 6) O O și O O sunt
1 2 2 3
paralele cu diagonalele bazei. 7) a) BC ∥ AD , ΔSAD dreptunghic isoscel, ∢SAD = 45° ; b) Reciproca teoremei lui Thales, MN ∥ AC
și concluzia; c) Pătratul de secțiune are latura o treime din AB, A = 16 cm . 8) a) VO este mediană și înălțime în triunghiul isoscel
2
