Page 213 - matematica-viii

Indicații și răspunsuri 211

_
2
3 _
3 _
9 _
_

pg. 93-94. Test de autoevaluare. 2) a) –5; c) A = u ; d) 3 √ u; e) –4; f) 1; g) –5353; h) A ( − ; − ) ; i) nu există;

2
2
2
2
2
_
6 _

2

j) 9 √ u. Test de evaluare. I. 1) Im f = {0; 0, 5; 1; 1, 5; 2; 3} . 2) A = {−2; −1; 0; 1; 2} . 3) fals. 4) –2. 5) A ; 0 . 6) A(0; 1) . II. 1) da.

)
(5
_ _ _

√ 37 _ _

3 _
2 _ √ 13 √ 10

2) a = − 2, b = − 3 . 3) ∅ . III. 1) A = u ; , ; . Consolidare şi aprofundare. 1) f(−4) = − 19, f(−2) = − 5, f(−1) = 2, f(−0,5) =

2
2
2
2
= 5, 5, f(0) = 9, f(2) = 23, f(3) = 30 . 3) a) Im f = {−38; −30; −22; −14; −6; 2} ; b) Im f = {−11; −6; 4; 14; 19; 24} ;

9 _
5 _

c) Im f = {−17; −9; −1; 7} . 4) a) 10,5; b) –71,5; c) −1100. 5) a) A − ; 0 , B (0; 9) ; b) A ; 0 , B (0; 10) ; c) A (− 8; 0) , B (0; 16) .

(3
)
( 5
)
7 _
1 _
4 _
5 _
4 _
7 _ 5 _
1 _

6) a) ; b) ; c) −5; d) − , e) − . 7) a) f(x) = − x + 4 ; b) f(x) = − x + ; c) f(x) = − 2x ; d) f(x) = 5 . 8) a) A(1; 6) ; b) A ; . 9) da, nu,

2
2
7
5
3
3
(3 3)
13
5 _
_
2 _ 1 _
1 _ 5 _
1 _ 1 _
5 _
4 _

nu. 10) a) A ; ; b) A ; ; c) A ( ; − ) ; d) A ( ; − ) ; e) A (4; −11) ; f) A (6; −17) ; g) A ; . 11) g(x) = − x + 4 , A = 9 u ,

2
( 8 8 )
2
2
11
11
(4 4)
(7 7)
_ _ 25
_

2

P = 6 + 6 √ u, triunghi dreptunghic isoscel. 12) g(x) = 2 , A = 8 u , P = 10 + 2 √ u, trapez dreptunghic. 13) A = u . 14) 3.
2

2
2
_ 6
5
4 _
1 _ 11 _
_

15) − . 16) 6,4 u. 17) –3. 18) A ; . 19) 2 √ ℕ .

,

3 )
5
(3
3

pg. 102–103. 1) a) a; b) f; c) a; d) a; e) a; f) f; g) a; h) a; i) a. 2) a) AB ⊂ α conform axiomei A2; b) MN ⊄ α . Dacă MN ar fi inclusă
în plan, atunci toate punctele ei ar aparține planului, deci și N – fals. c) fals. Dacă punctele sunt coliniare, C ∈ d și cum d ⊂ δ ,

obținem C este în plan, fals. 3) a) A ∈ α ; b) A ∉ d ; c) C ∈ d ; d) E ∉ α ; e) E ∉ d ; f) d ⊂ α ; f) AC ⊂ α ; g) B ∉ EC ; h) EA ⊄ α . 4) Dacă cele
patru puncte ar fi coliniare, atunci ele ar fi toate pe o dreaptă. O dreaptă este inclusă în plan, deci toate punctele sunt în plan,
deci coplanare – fals. 5) a) 1; 6. b) Minim 1 dacă sunt toate coplanare, dar necoliniare și maxim o infinitate dacă sunt coliniare.
6) a) Minim 1 plan dacă punctele din plan sunt coliniare, maxim 6. b) Trei plane se obțin din punctul E și 3 drepte din plan. Nu
există așezare a 4 puncte în plan pentru a obține 3 drepte. 7) Punctele A și B aparțin planului determinat de dreptele a și b.
Conform axiomei A2 toate punctele de pe dreapta AB aparțin planului, deci și mijlocul segmentului. 8) Conform axiomei A2.
9) a) A ∈ α ; b) C ∉ α ; c) AB ⊂ α ; d) α ∩ β = d ; e) CB ∩ β = {C} ; f) AC ∩ α = {A} ; g) (ABC) ∩ α = AB ; h) (d, C) = β ; i) (d, AB) = α .

10) Nu. 11) A ∈ α, A ∈ β ⇒ A ∈ α ∩ β = d . 12) Cele trei puncte determină un plan. 13) Nu (colțul unei camere cu cele trei muchii
care se întâlnesc în colț). 15) Da, trei puncte determină un plan. 16) Două drepte paralele determină un plan. 17) d) Planele au
dreapta comună BC, iar punctele A și D în plane diferite, deci puncte necoplanare; e) AB ∥ CD ∥ EF două drepte paralele deter-

mină un plan; f) AB ∥ CD ∥ EF două drepte paralele determină un plan. 18) a) (ABC) ∩ (BCD) = BC ; b) (ABC) ∩ (ABD) = AB ;

c) (ABE) ∩ (ACD) = AE ; d) (ACE) ∩ (ADE) = (ACD) ; e) (ABE) ∩ (ACD) ∩ (BCD) = {E} .
pg. 109–110. 6) a, f, f, f, a, a, a, a, f, f, a, f. 7) Dacă cele trei muchii sunt muchii laterale, atunci două câte două sunt copla-
nare. Dacă două muchii sunt muchii laterale și una este muchie a bazei, cele două muchii laterale sunt coplanare. Dacă două
muchii sunt muchii ale bazei și una este muchie laterală, cele două muchii ale bazei sunt coplanare. 8) triunghiulară, patrula-
teră, triunghiulară, lipsește baza. 9) i. d); ii. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul VBM sau VCM, VM = 8 cm, b). 10) i. b);
ii. c). 11) a. 12) Triunghiurile din desen sunt echilaterale. 13) SDGH, SDGF, SDFE. 14) 4. Fiecare tetraedru are la bază un triunghi
cu două din laturile pătratului și între ele este unghi drept. 15) 8 cm.
pg. 116–117. 6) Dacă baza prismei are n vârfuri, atunci prisma are 2n vârfuri. Din fiecare vârf pleacă 3 muchii și intră 3
2n ⋅ 3
_
vârfuri, deci numărul de vârfuri este 2 = 3n . Numărul 14 nu se împarte la 3; 15 = 3 ⋅ 5 . 7) a) Dacă baza prismei are n vârfuri,

atunci prisma are 2n vârfuri, deci v = 2n . b) Am arătat la exercițiul anterior că m = 3n . c) Dacă baza are n vârfuri, are tot n fețe

laterale, deci n+2 fețe (cu tot cu bazele); v = 2n și f = n + 2 . Obținem v = 2f − 4 . d) v + f = 2n + n + 2 = 3n + 2 = m + 2 . 9) a) 51 cm;

b) 5 cm; c) 8 cm. 10) a) Desfășurăm prisma și furnica parcurge diagonala dreptunghiului ACC ’ A ’ (format din două fețe late-
_
_

rale), distanța este de √ 32 + 6 = 2 √ 265 cm. b) Desfășurăm prisma și furnica parcurge diagonala dreptunghiului ABC ’ D ’
2

2

_
_
_
(format din o față laterală și baza de sus), distanța este de √ 16 + 22 = 2 √ 185 cm. 14) Drumul minim taie BF; 5 √ 17 ≈ 20, 62 m.

2
2
_
2

15) Al doilea pachet. 16) Muchiile sunt diagonale în fețele cubului; 5 √ cm. 17) 8; 12; 6; 1. 18) ACFH este tetraedru regulat.
20) 72 cm.
pg. 120-121. Test de autoevaluare. I. A, A, F, A, A. II. 1) b). 2) d). 3) b). III. 1) AD. 2) AO sau AC. 3) VO. 4) O. 5) Punctul de
_
_

5

intersecție dintre VO și AN. IV. 1) 32 cm. 2) 4 √ cm; c) 8 √ + 4 cm. Consolidare şi aprofundare. 1) a) distincte, plan; b) trei;

3

c) nesituat pe dreaptă (exterior dreptei); d) concurente, paralele. 2) A, A, A, A, F, A. 3) a) Dreptele AB și CD sunt concurente, deci
determină un plan în care sunt cele 4 puncte; b) O ∈ AB , AB ⊂ (ABC) , deci O ∈ (ABC) ; c) Punctele O și A sunt în plan. 4) a) Dreptele
AB și CD sunt paralele, deci determină un plan în care sunt cele 4 puncte; b) Punctele C și A sunt în plan; c) Pot fi paralele sau

concurente. 5) A, A, F, A, A, A, F, F, A, A, A. 6) a) 75º; b) 16 cm ; c) Prin desfășurarea fețelor laterale se obține un triunghi
2
_
_
_

dreptunghic, lungimea minimă este 8 √ cm . 7) 60 cm. 8) a) 72 cm; b) 10 + 2 √ 13 + 4 √ cm; c) o dreaptă care unește centrele

2

5

_

fețelor ABB’A’ și DCC’D’. 9) ΔACE ≡ ΔBCE (CC) ; b) Se aplică teorema lui Pitagora; c) 9 √ cm ; d) Are baza pătrat și se demon-

7

2
strează că VB = VC = VE = VD.