Page 215 - matematica-viii
P. 215
Indicații și răspunsuri 213
ΔVAC ; b) Construim prin O paralela MN ∥ AB , M ∈ AD și N ∈ BC , demonstrăm că VM ≡ VN și MO ≡ ON deci VO este mediană și în
ΔVMN isoscel, VO ⊥ MN , ∢(VO, AB) = 90°
pg. 142–143. 1) Nu neapărat; nu este suficient ca o dreaptă să fie perpendiculară pe o singură dreaptă dintr-un plan pentru
a fi perpendiculară pe plan. 2) a) EA, FB, GC, HD; b) AB, DC, EF, GH; c) AD, BC, EH, FG. 3) a) A’A ⊥ AB , A’A ⊥ AD , AB, AD ⊂ (ABC) , AB
și AD concurente în A; b) BD ⊂ (ABC) și A’A ⊥ (ABC) ; c) se aplică teorema lui Pitagora în ΔA’AB ; A’A ⊥ (ABC) , AC ⊂ (ABC) , deci
A’A ⊥ AC și teorema lui Pitagora în ΔA’AC . 4) a) oblică; b) Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC, 20 cm.
5) a) MA ⊥ (ABC) , AD ⊂ (ABC) , 90°; nu contează poziția lui D pe BC; b) MA ⊥ (ABC) , BC ⊂ (ABC) , de unde concluzia. 6) a) EA ⊥ AB ,
AB ∥ DC și concluzia; b) BA este perpendiculară pe dreptele concurente AE și AD ; c) CD ∥ BA , deci CD ⊥ (EAB) și ED ⊂ (EAD) .
7) a) congruență de triunghiuri; b) BC ⊂ (ABC) și AD ⊥ (ABC) ; c) BC ⊥ AE și BC ⊥ AD etc. 8) CA ⊥ AB , CA ⊥ MB pentru că BM ⊥ (ABC)
etc. 9) a) BA ⊥ AD și BA ⊥ AM ; b) CB ⊥ BA și CB ⊥ AM ; c) DB ⊥ AC , DB ⊥ MA ; d) NO ∥ MA și concluzia. 10) AM ⊥ CD , BM ⊥ CD (mediane
_
_
2
2
și înălțimi în triunghiuri isoscele). 11) a) BA ⊥ (AMC) ; b) 6 √ cm ; c) MB = 6 √ cm , MC = BC = 10 cm . 12) a) DB = DC (calcul sau
_
_
_
_
5
2
congruență de triunghiuri); b) AM = 3 √ cm , DM = 6 cm . 13) a) 8 cm, 4 √ cm , 4 √ cm , 4 √ cm ; b) DE ⊥ MA deci DE trebuie să
3
2
_
fie perpendiculară e AC , ΔAOD echilateral, E mijlocul lui AO . 14) a) BF = 6 √ cm = MF , aplicăm teorema lui Pitagora în ΔMAF ;
3
_
_
b) 6 √ cm , 6 √ cm ; c) DB ⊥ AB , MA ⊥ DB .
5
6
pg. 147. 1) a) A’D ⊥ B’C’ (mediană și înălțime în triunghi echilateral), BB’ ⊥ (A’B’C’) deci BB’ ⊥ A’D și concluzia;
_
b) d(A’, (BCC’) ) = A’D = 3 √ cm ; c) teorema lui Pitagora în ΔAA’D , AA’ = 9 cm ; d) 3 cm, 6 cm. 2) a) congruența triunghiurilor
3
_
3
dreptunghice VOA, VOB și VOC; b) AO = 4 √ cm , VO = 8 cm ; c) MM’ ⊥ (ABC) , MM’ ∥ VO și se aplică teorema fundamentală a ase-
mănării, 2 cm; d) piramidă și trunchi de piramidă, 6 cm și 2 cm. 3) a) Analog problema rezolvată din lecție; b) Teorema lui
_
_
_
6
6
6
Pitagora în ΔSOA , SO = 14 cm ; c) 10 cm, 5 √ cm , 4 cm. 4) 4 √ cm ; 16π cm , 1, 6 √ cm . 5) 12 cm, 15 cm. 6) AA’ ∥ BB’ , AD ∥ BC și
2
_
_
2
2
concluzia; BA ⊥ AD , BA ⊥ AA’ , BA ⊥ (AA’D) , 11 cm. 7) 8, 8, 4 √ , 8, 8, 8, 8 √ , 8, 8, 8, 8, 0. 8) 15 cm, 6 cm. 9) latura secțiunii este
linie mijlocie în fața laterală a trunchiului (trapez); da, relația se păstrează. 10) Dacă A și B sunt două puncte de pe dreaptă și
A’ și B’ picioarele perpendicularelor acestor puncte pe plan, se demonstrează că ABB’A’ este dreptunghi. 11) AB ∥ β și ideea
problemei anterioare.
pg. 150. 1) CO ⊥ (AOB) , CO ⊂ (BOC) etc. 2) A'A ⊥ (ABC) , A'A ⊂ (A'AB) ; b) A'M ⊂ (A'AM) și A'M ⊥ (BB'C') punctul anterior;
c) analog punctul anterior. 3) AB ⊥ (SMC) , AB ⊂ (SAB) ; se demonstrează că înălțimea piramidei este inclusă în planul (SMC) ;
AB ⊥ (SMC) și AB ⊂ (NAB) . 4) (ABC ) ∩ (EAB ) = AB , dacă EF ⊥ AB , F ∈ AB , EF ⊥ (ABC) , d(E, (ABC ) ) = EF = 12 cm ; analog, CB repre-
zintă distanța de la C la (EAB), 10 cm. 5) Se demonstrează că este un dreptunghi cu laturile congruente. 6) dreptunghiuri în
toate situațiile; a) și b) două prisme triunghiulare drepte; c) două paralelipipede dreptunghice; d) două prisme drepte cu baza
trapez. 7) dreptunghiuri în toate situațiile; a) o prismă triunghiulară dreaptă și o prismă pentagonală dreaptă; b) două prisme
patrulatere drepte; c) două prisme triunghiulare și una patrulateră. 8) a) SO ⊥ (ABC), SO ⊂ (SAC); b) AC ⊥ (SBD) , AC ⊂ (SAC);
c) BC ⊥ (SOM) , BC ⊂ (SBC) ; d) (SOM ) ∩ (SBC ) = SM , plane perpendiculare, construim perpendiculara din O pe SM; 9) r = 3 cm,
_
3
h = 3 √ cm. 10) 4 cm, 8 cm (folosim un diametru perpendicular pe diametrul primei secțiuni). 11) Dreptunghiuri în care una
dintre laturi este muchia laterală, iar celelalte diagonale ale bazelor (care sunt congruente). 12) Aria secțiunii diagonale este
_
a √ 2 , iar aria unei fețe este a . 13) Lungimea segmentului determinat de o secțiune axială pe bază este mai mică decât lungi-
2
2
mea diagonalei bazei.
pg. 151. Test de autoevaluare. 1) c). 2) b). 3) b). 4) a). 5) c). 6) DA ⊥ AB , DA ⊥ MB și finalizare. 7) MB ⊥ (ABC) , MB ⊂ (MBD) și
finalizare. 8) MA = 20 cm și MC = 15 cm . 9) Se demonstrează că CM ⊥ (ABE) și finalizarea. Consolidare şi aprofundare.
_
1) AB ⊥ EC , AB ⊥ ED și concluzia. 2) a) BC ⊥ AM , BC ⊥ MN și concluzia; b) congruență de triunghiuri; c) AM = 4 √ , MN = NB =
2
_
2
= 4 √ , BN = AN = 8 = AB ; d) BP și CP înălțimi în triunghiurile ABN și ACN etc. 3) a) AM ∥ CN și concluzia; b) BD ⊥ AC , BD ⊥ AM și
_
concluzia; c) Se demonstrează că MB ≡ MD , NB ≡ ND și concluzia; d) BN = DN = 10 √ = BD ; e) Se folosește trapezul dreptunghic
2
_
AMNC , MN = 15 cm . 4) a) AD = 4 √ cm ; b) Se calculează AB și se verifică reciproca teoremei lui Pitagora; c) Cu reciproca teo-
5
_
remei lui Pitagora sau se demonstrează că CB ⊥ (ABD) . 5) 2 cm. 6) a) 5 √ cm ; b) 10 cm; c) BC ⊥ SM , BC ⊥ OM , deci BC ⊥ (SOM) și
5
_
3
BC ⊂ (SBC) ; d) OP ⊥ SM , OP ⊥ BC și concluzia; e) 2, 5 √ cm .
pg. 154. 4) Medianele triunghiului ABC se proiectează în medianele triunghiului A’B’C’. 5) O; O; M; OA; O; OM; VO; AO; VM.
6) O; O; M; OA; O; OM; VO; AO; VM. 7) a) AB; b) CB; c) AM; d) AB; e) MM’; f) AM’. 8) a) AD, A’D’, BC’, AA’; b) BD, B’D’, AD’, A’B; c) OO’,
_
_
_
_
_
_
2
2
5
2
2
OD’, OB, OD. 9) a) 6 cm; b) 6 √ cm ; c) 6 √ cm ; d) 6 √ cm ; e) 3 √ cm ; f) 6 √ cm . 10) Toate sunt egale cu 4 √ cm . 11) a) dacă
2
_
_
2
2
(ABC ) ⊥ α ; b) A'B = A'C = 5 √ cm , AA'= 5 √ cm ; c) Nu, triunghiul A'BC ar fi echilateral, deci A’B = AB, contradicție. 12) Sunt
paralele sau coincid (când planul determinat de ele este perpendicular pe planul dat) sau se reduc la două puncte la distanță
egală cu distanța dintre dreptele date (când dreptele sunt perpendiculare pe plan). 13) ABB’A’ dreptunghi, AB ⊥ BB' , AB ⊥ BC ;
b) A'B'∥ AB , deci A'B'⊥ (BCC') . 15) a) pătrat; b) 64 cm .
2
