Page 101 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 99

Determinările planului Activitate în perechi

Conform A3., trei puncte necoliniare determină un plan.  Cu ajutorul a două coli de hârtie, sugeraţi
Luați o carte de pe masă şi priviți diferite tipuri de intersecţie a două plane.
cotorul ei ca şi cum ar fi o dreaptă d .  Urmăriţi şirul următor de poze. A fost
Deschideți coperta în diferite poziții. aceasta una dintre ideile pe care le-aţi
Constatăm astfel existența mai multor avut la activitatea anterioară?
plane (o infinitate chiar) care conțin
dreapta d .
Există o infinitate de plane care conţin o aceeaşi dreaptă.
Dacă fixăm un punct A , care nu
este situat pe dreapta d , şi ne pro-
punem ca din multitudinea de plane
care se obțin să le alegem pe cele care
conțin şi acest punct, constatăm că
există un singur astfel de plan.
Planul determinat de dreapta d şi punctul A , A ∉ d , se notează (d, A) .
Proprietatea 1. O dreaptă şi un punct care nu-i
aparţine determină un plan.
Luați un creion şi încercați să aşezați un Acum știm,
carton pe el. Luați două creioane şi aşezați-le deci putem rezolva!
astfel încât vârfurile lor să se atingă. Rugați Stabiliţi care dintre următoarele propozi-
ţii sunt adevărate, precizând fie contextul
un coleg să aşeze cartonul pe cele două cre- teoretic prezentat anterior în baza căruia
ioane. Ce observați? aţi decis, după exemplul dat, fie oferind un
Repetați experimentul, dar aşezați cele două creioane astfel încât ele exemplu sau contraexemplu:
să fie paralele. Ce observați? a) (Exemplu) Oricare două puncte sunt co-
liniare. Propoziţie adevărată, A1.
Proprietatea 2. Două drepte concurente determină un plan. b) Oricare două puncte determină o dreaptă.
Proprietatea 3. Două drepte paralele determină un plan. c) Oricare trei puncte sunt coliniare.
d) Oricare trei puncte sunt coplanare.

Dacă dreptele d şi d sunt astfel încât d ∩ d = {O} sau d ∥ d , atunci

1 2 1 2 1 2 e) Există patru puncte coliniare.

planul determinat de ele se notează ( d , d ) .

1 2 f) Există patru puncte coplanare.
g) Dacă trei puncte sunt coplanare, atunci
Rețineți! ele sunt coliniare.
h) Dacă patru puncte sunt coplanare,
Două drepte care determină un plan pot fi: atunci trei dintre ele sunt coliniare.
 concurente – intersecția lor este un punct;
 paralele – intersecția lor este mulțimea vidă. Activitate practică
Când dreptele nu mai sunt în acelaşi plan, apare şi o a treia situație, Privind sala de clasă, am putea vorbi despre
cea a dreptelor necoplanare. dreapta corespunzătoare muchiei dintre pe-
retele cu uşă şi tavan şi cea corespunzătoare
Observații muchiei dintre peretele alăturat şi podea.
Este evident că nu sunt nici concurente şi
nici paralele, ele fiind drepte necoplanare.
În figura următoare sunt reprezentate dreptele paralele a şi b, drep- Evidenţiaţi şi alte perechi de drepte neco-
tele concurente c şi d şi dreptele necoplanare e şi f. Modul în care sunt planare din sala de clasă!
reprezentate cele două drepte necoplanare sugerează că dreapta e este în
spatele dreptei f.