Page 102 - matematica-viii

100 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Exersăm împreună!
Considerăm punctele necoplanare A , B , C şi D .
Activitate în cooperare a) Justificați faptul că, oricare trei dintre puncte am alege, acestea nu
pot fi coliniare.
a) Colaboraţi pentru a justifica cele trei
proprietăţi anterioare folosind A3. b) Dați două exemple de drepte concurente determinate de câte două
b) Discutaţi şi formulaţi completarea co- dintre cele patru puncte.

rectă a enunţului: dacă dreptele d şi d 2 c) Dreptele AC şi BD sunt coplanare? Argumentați răspunsul. Compa-
1

sunt astfel încât d ∩ d = ∅ , atunci .... rați argumentele între voi.

1
2
c) Colaboraţi şi caracterizaţi rezultatul d) Câte plane distincte determină aceste puncte?
intersecţiei dintre o dreaptă şi un plan.
Exemplificaţi fiecare caz cu ajutorul unui Soluţie:
creion pe post de dreaptă şi a unei foi de a) Dacă trei dintre puncte ar fi coliniare, ele ar forma o dreaptă d , iar
hârtie pe post de plan. aceasta, împreună cu al patrulea punct, ar determina un plan şi deci cele
d) Daţi exemple din realitate care să su- patru puncte ar fi coplanare.
gereze relaţiile învăţate dintre punct-plan, b) De exemplu: AB cu AC , BD cu CD .
dreaptă-plan şi plan-plan.

e) Aţi înţeles că, în matematică, a deter- c) Nu. Dacă AC şi BD ar fi coplanare
mina un obiect înseamnă a-l descrie prin am obține că cele patru puncte sunt
acele elemente care-l fac unic. Întrebaţi coplanare.
profesorul de biologie ce determină o fi- d) Oricare trei dintre cele patru
inţă? Gândiţi-vă la obiecte studiate la alte puncte sunt necoliniare, deci deter-
discipline şi analizaţi-le din punct de ve- mină câte un plan. În desenul alăturat
dere al ideii de determinare a lor.
am evidențiat planul (ABC) (cel ori-

zontal), planul (DAB) − albastru, planul (DBC) − verde. Planul (DAC) este

în spatele celor două plane colorate.
Observație: afirmând că am evidențiat planul (DAB) , nu vom înțelege
că planul corespunde doar punctelor suprafeței triunghiulare DAB !
Convenţii de reprezentare a figurilor în spaţiu
Atunci când realizăm un desen în spațiu considerăm planul caietului, la fel ca atunci când ne-am referit la
planul tablei ca fiind plan vertical. Atunci când reprezentăm (desenăm) o figură care este inclusă într-un astfel
de plan (vertical), aceasta se desenează după regulile studiate în clasele anterioare. Dacă un segment este in-
clus sau paralel cu planul vertical se reprezintă în forma lui reală, iar dacă este într-un plan orizontal sau oblic
în raport cu planul vertical se reprezintă într-un anumit raport de mărime în comparație cu forma reală (cu o
lungime mai mică!).
Despre un cub ştim că are toate fețele pătrate. Observați pe figura de la exemplul următor modul în care a
fost desenat fiecare dintre pătratele care reprezintă fețele cubului. Planul evidențiat în desen reprezintă un plan
orizontal în raport cu planul vertical al hârtiei.
 Să observăm figura alăturată în care este reprezentat cubul ABCDEFGH :

 Unghiul drept EAB al feței pătrate ABFE (considerat în plan vertical)
este desenat ca în cazul desenării în plan, însă unghiul drept HEF al feței

pătrate HEFG (considerat în plan orizontal) este desenat ca un unghi as-

cuțit, iar unghiul drept EFG este desenat ca un unghi obtuz; deci un unghi
drept, desenat în spaţiu, nu îşi păstrează forma de unghi drept decât dacă face
parte dintr-un plan vertical.
 Pătratul ABFE este desenat exact ca în cazul desenării în plan, dar

pătratul EFGH este desenat ca un paralelogram; deci un pătrat desenat în

spațiu poate avea ca reprezentare un paralelogram.

 Laturile AD , DC şi DH nu se văd pentru că sunt în spatele planului

(ABF) , deci sunt desenate punctat (linie întreruptă).