Page 104 - matematica-viii

102 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Exersați

1. Pentru desenul alăturat stabiliți care dintre următoarele relații sunt adevărate sau false:
a) A ∈ α ; b) B ∈ α ;
c) C ∈ α ; d) D ∈ α ;
e) E ∉ α ; f) AB ⊂ α ;
g) CD ⊂ α ; h) CE ⊄ α ;
i) BE ∩ α ≠ ∅ .
2. Reprezentați printr-un desen:
a) planul α , punctele A ∈ α , B ∈ α şi dreapta AB . Este dreapta AB ⊂ α ? De ce?
b) planul β , punctele M ∈ β , N ∉ β şi dreapta MN . Este dreapta MN ⊂ α ? De ce?
c) planul δ , dreapta d şi punctele A , B şi C , astfel încât d ⊂ δ , A ∈ d , B ∈ d şi C ∉ δ . Pot fi punctele A , B şi C coliniare?
3. Observați figura alăturată şi completați spațiile cu unul dintre semnele ∈, ∉, ⊂, ⊄ pentru a obține relații
adevărate:
a) A . . . α ; b) A . . . d ;
c) C . . . d ; d) E . . . α ;
e) E . . . d ; f) d . . . α ;
g) AC . . . α ; h) B . . . EC ;
i) EA . . . α .
4. Considerăm patru puncte necoplanare. Demonstrați că ele nu pot fi coliniare.
5. Considerăm patru puncte distincte.
a) Determinați numărul minim şi numărul maxim de drepte diferite determinate de câte două dintre cele patru
puncte.
b) Determinați numărul minim şi numărul maxim de plane diferite determinate de câte trei dintre cele patru
puncte.
6. Într-un plan α considerăm punctele A , B , C şi D distincte, iar în afara acestuia un punct E .
a) Care este numărul minim şi care este numărul maxim de plane (exceptând planul α ) determinate de câte trei
dintre cele 5 puncte?
b) Există posibilitatea să obținem exact trei plane?

7. Considerăm dreptele concurente a şi b şi punctele A ∈ a şi B ∈ b . Demonstrați că mijlocul C al segmentului AB

aparține planului determinat de cele două drepte.
8. Considerăm dreptele paralele a şi b şi punctele A ∈ a şi B ∈ b . Demonstrați că dreapta AB este inclusă în planul

determinat de cele două drepte.
9. Observați figura alăturată (în care planele α şi β sunt distincte) şi completați
spațiile punctate pentru a obține relații adevărate:
a) A . . . α ; b) C . . . α ;
c) AB . . . α ; d) α ∩ β = . . . ;
e) CB ∩ β = . . . ; f) AC ∩ α = . . . ;
g) (ABC ) ∩ α = . . . ; h) (d, C) . . . β ;
i) (d, AB) . . . α .

10. Dacă dreptele a şi b sunt coplanare şi dreptele b şi c sunt coplanare, rezultă în mod necesar că dreptele a şi c

sunt coplanare?
11. Intersecția planelor distincte α şi β este dreapta d , iar punctul A este situat în ambele plane. Demonstrați că

A ∈ d .
12. Trei drepte distincte se intersectează două câte două în puncte distincte. Demonstrați că cele trei drepte sunt
coplanare.