Page 15 - matematica-viii

UNITATEA 1 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ 13

Mulţimile cu număr infinit de elemente se numesc mulţimi infi-
nite. Acestor mulţimi nu le putem asocia niciun număr real care să
reprezinte cardinalul, dar putem spune că sunt de cardinal infinit.

– Două mulţimi sunt egale dacă sunt formate din aceleași ele- A = C (utilizând pentru mulţimea
mente. Se notează A = B . C scrierea prin enumerare, obţinem

Dacă cel puţin un element al mulţimii A nu aparţine mulţimii B aceleași elemente ca cele din A ); A ≠ B .
sau invers, se spune că mulţimile A și B sunt diferite. Se notează A ≠ B .

– Reuniunea a două mulţimi este o mulţime formată din toate A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ,
elemente celor două mulţimi, fiecare element comun fiind luat o sin- card(A ∪ B ) = 11 .
gură dată. Notăm A ∪ B = {x |x ∈ A sau x ∈ B } . Determinaţi A ∪ D și D ∪ B .
– Intersecţia a două mulţimi este o mulţime formată din elemen- A ∩ B = {2, 4, 6, 8} .

tele comune ale celor două mulţimi. Notăm A ∩ B = {x |x ∈ A și x ∈ B} . Determinaţi A ∩ D și B ∩ D .
– Diferenţa a două mulţimi este o mulţime formată din elemen- A \ B = {0, 1, 3, 5, 7, 9} ; B \ A = {10} ;

tele care aparţin primei mulţimi, dar nu aparţin mulţimii a doua. A \ C = ∅ .

A \ B = {x |x ∈ A și x ∉ B} Determinaţi D \ B .

– O mulţime A este inclusă într-o mulţime B dacă orice element B ⊂ D , deci B este submulţime a lui

al mulţimii A aparţine și mulţimii B și se notează A ⊂ B . Putem spune D ; putem spune că A ⊂ C și C ⊂ A ; B ⊄ A
și că mulţimea B include mulţimea A și notăm B ⊃ A . Mulţimea A se ( B conţine pe 10, care nu este în A ).

numește submulţime a mulţimii B.
Dacă cel puţin un element al mulţimii A nu este și element al mul-

ţimii B , se spune că mulţimea A nu este inclusă în mulţimea B și se

folosește notaţia A ⊄ B .
Diagrama Venn-Euler se folosește, în general, la reprezentarea mulţimilor finite. Mulţimile infinite se pot
reprezenta prin enumerarea unor elemente și sugerarea faptului că enumerarea poate continua la infinit, dar
cel mai bine este să se găsească o proprietate caracteristică a elementelor.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ......} – mulţimea numerelor naturale

ℕ * = ℕ \ {0} – mulţimea numerelor naturale nenule

ℤ = {...− 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .....} – mulţimea numerelor întregi

a _

ℚ = | a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b ≠ 0 – mulţimea numerelor raţionale
}
{ b

ℝ – mulţimea numerelor reale este reuniunea dintre mulţimea numerelor raţionale și mulţimea numerelor
iraţionale (un număr iraţional este o fracţie zecimală infinită neperiodică)
ℝ − ℚ sau ℝ \ ℚ – mulţimea numerelor iraţionale
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Exersăm împreună!
1. Rescrieţi în limbaj simbolic mulţimea M formată din elementele n cu Reflectăm!

proprietatea că sunt numere naturale pare.

2. Rescrieţi ca text S = p ∈ ℕ p + 1 ≤ 10 . Scrieţi submulţimea P a lui S Ne-am amintit că o mulțime poate fi scrisă

|
{
}
sau definită prin enumerarea elementelor,
ce conţine ca elemente numai numere pare. prin reprezentarea cu ajutorul diagrame-
3. Rescrieţi mulţimile următoare prin enumerarea elementelor: lor și am învățat că poate fi definită și cu

A = {x ∈ ℕ | x = 3 k + k − 5, k ∈ ℕ, k ≤ 4} , B = {x ∈ ℕ | x = 7 − k, k ∈ ℕ} , ajutorul precizării unor proprietăți ale ele-

2
C = {x ∈ ℕ | x = 3n + 1, n = 1, 2, 3, 4} . mentelor sale.
Rezolvare. Argumentați care dintre mulțimile alătu-

1. M = {x ∈ ℕ | x = 2k, k ∈ ℕ} . rate se poate scrie prin enumerare sau
prin diagrame. Formulați opinii privind

2. S este mulţimea numerelor naturale p cu proprietatea p + 1 ≤ 10 . avantajele sau limitele utilizării uneia

P = p ∈ ℕ p + 1 ≤ 10 și p număr par . sau alteia dintre modalitățile de scriere a

|

{
}

3. A = {9; 25; 47} , B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} , C = {4; 7; 10; 13} . mulțimilor.