Page 19 - matematica-viii

UNITATEA 1 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ 17

Observații
Reflectăm!
Desenăm pe axa numerelor reale punctele A(−3) și B(5) .  Reprezentarea pe axă a intervalelor de

numere reale de forma (a; b) , (a; b ] , [a; b)

sau [a; b ] corespunde unor segmente de

dreaptă de tipul (AB ) , (AB] , [AB) , respec-
tiv [AB] , cu capetele A(a) și B(b) ; pentru

aceasta, reprezentăm întâi capetele seg-
mentului, apoi segmentul.
 La fel ca la intervale, paranteza rotundă

Observăm faptul că orice număr real x cu proprietatea − 3 < x < 5 se va asociată unui capăt de segment semnifică

reprezenta pe axă printr-un punct situat între A și B și putem afirma că faptul că punctul de capăt nu aparține seg-

oricărui punct dintre A și B îi va corespunde un număr real cuprins între mentului, iar paranteza pătrată la capăt de

segment semnifică faptul că punctul de

− 3 și 5 . Cum condiţia anterioară este chiar descrierea intervalului (−3; 5) , capăt aparține segmentului; putem afirma

putem spune că reprezentării intervalului (−3; 5) pe axă îi corespunde că A ∉ (AB ) , B ∉ (AB) , A ∉ (AB] , B ∈ (AB] ,

,
segmentul AB , deschis la ambele capete, pe care-l vom nota (AB) . A ∈ [AB) , B ∉ [AB) , A ∈ [AB] B ∈ [AB] .
Exersăm împreună!
1. Scrieţi intervalul care corespunde segmentului

[AB] din desenul alăturat. Verificaţi dacă O ∈ [AB] .
Scrieţi trei numere întregi și trei numere raţionale
neîntregi din intervalul [-2; 3].
Rezolvare. Punctul O se găsește pe axă între
punctele A și B. Exemple de numere întregi: –1; 1; 2; exemple de numere raţionale neîntregi 0,5; 1,5; 2,5. _
_
1 _
8

2. Reprezentaţi intervalele numerice pe axa numerelor, în fiecare caz în parte: a) (− 3; 1] ; b) [ ; 1, 5 ) ; c) [ √ ; √ ]

2

2
(construiţi, fie utilizând o modalitate de a reprezenta segmente de lungimi numere iraţionale date, fie utilizând
aproximări ale acestor numere).
3. Scrieţi intervalele corespunzătoare segmentelor despre care se cunosc:

a) [AB] , cu A(−3) și B(2) ; b) (CD) , cu C(0) și D(3) ; c) [EF) , cu E(−1) și F(10) ; d) (GH] , cu G(−5) și H(−2) ;

e) [MN] , cu un capăt de abscisă 0 și MN = 4 (cu identificarea ambelor cazuri);

f) [PQ] , cu mijlocul segmentului de abscisă 0 și PQ = 10 .

Rezolvare. a) [− 3; 2] ; b) (0; 3) ; c) [− 1; 10) ; d) (− 5; −2] ; e) [0; 4] sau [− 4; 0] ; f) [− 5; 5] .

4. Daţi exemplu de: a) interval deschis la stânga și închis la dreapta; b) interval închis; c) interval închis la
stânga și deschis la dreapta; d) interval deschis; e) interval închis care-l conţine pe 0; f) interval deschis
care-l conţine pe 0; g) interval deschis la stânga și închis la dreapta, care-l conţine pe 0 și acesta este și capăt.
5. Dacă veţi verifica pe anumite ambalaje, de exemplu ale unor produse alimentare, înscrierea gramajului este
de tipul 100 g ± 2 g . Interpretaţi cu ajutorul intervalelor această informaţie.

Descoperiți!
◼ Cum reprezentăm pe axa numerelor mulţimea punctelor care au ca
abscise valori din mulţimea { x ∈ ℝ | x ≥ 2} , adică toate punctele axei aflate Atenție!

la dreapta punctului A(2) ? ,
◼ Cum reprezentăm pe Mulțimea A = {x ∈ ℤ | − 3 ≤ x ≤ 4} =

axa numerelor mulţimea = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4} este diferită de

punctelor care au ca abs- mulțimea B = {x ∈ ℝ | − 3 ≤ x ≤ 4} =

cise valori din mulţimea = [− 3; 4] . Mulțimea A este finită, deoarece
conține doar numerele întregi cuprinse

{ x ∈ ℝ | x < 4} , adică toate între –3 și 4, iar mulțimea B este infinită

punctele axei aflate la stânga punctului B(4) ? (un interval). Mulțimile sunt diferite, A ≠ B .