Page 17 - matematica-viii

UNITATEA 1 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ 15

Intervale numerice.

Reprezentare pe axa numerelor

În vorbirea curentă sunt multe situaţii în care folosim noţiunea de interval, cel mai des fiind corelată cu
timpul: Vremea va rămâne senină pe întreg intervalul următor de 24 de ore.

Acum știm,
Ne amintim!
deci putem rezolva!

Se numește axa numerelor ansamblul format din: o dreaptă numită  Pe dreapta d se consideră punctele dis-

direcţie, un punct pe dreaptă (notat cu O) numit origine, un sens (spre tincte A, B și C, în această ordine. Construiți
dreapta), o unitate de măsură. desenul corespunzător și evidențiați pe
dreaptă segmentul AB și semidreapta (CA
.
Oricărui număr real îi corespunde pe axa numerelor un punct (pozi-  Se consideră segmentul de dreaptă MN ,
ţie) și reciproc. Astfel, o reprezentare a unei mulţimi de numere poate cu M ≠ N . Descrieți segmentul cu ajutorul
fi realizată prin corespondenţă cu mulţimi de puncte ale axei (privită ca mulțimilor definite printr-o proprietate a
dreaptă). elementelor ce le formează.

Pe dreaptă putem identifica trei categorii de părţi ale sale: puncte,  Se consideră dreapta d și punctele dis-
tincte A, B și C . Realizați desenul, știind că

segmente, semidrepte. semidreapta (AB este conținută în semi-

dreapta (CA . Descrieți semidreapta (AB cu
ajutorul mulțimilor definite printr-o pro-
Descoperiți!
prietate a elementelor ce le formează.
Notăm cu A mulţimea tuturor numerelor naturale care au proprieta-

tea că sunt mai mari decât 2 și mai mici sau egale cu 7. În aceste condiţii,
A = {3; 4; 5; 6; 7} , unde am folosit scrierea prin enumerarea elementelor

care îndeplinesc condiţiile date, sau A = { x ∈ ℕ | 2 < x ≤ 7} , unde am folosit

scrierea cu ajutorul proprietăţilor elementelor mulţimii.
Există o diferenţă majoră între mulţimile A = { x ∈ ℕ | 2 < x ≤ 7} și

B = { x ∈ ℝ | 2 < x ≤ 7} . Dacă în primul caz se poate scrie mulţimea prin

enumerarea elementelor, în al doilea caz nu este posibil, între oricare
două numere naturale distincte situându-se o infinitate de numere reale:
Reflectăm!

Descrierea notației folosite: ( 2; 7] .
 Numerele 2 și 7 se numesc capetele
intervalului.
Capetele intervalului sunt acele numere
între care se situează toate elementele
acestuia, 2 < x ≤ 7 .
 Folosim paranteza rotundă asociată unui
capăt de interval și înțelegem că valoarea
de capăt nu aparține intervalului ( 2 < x ).
O mulţime de tipul B o vom numi interval numeric sau, simplu, interval.  Folosim paranteza pătrată asociată unui

Vom folosi o scriere simplificată a proprietăţilor elementelor ce o for- capăt de interval și înțelegem că valoarea

mează: { x ∈ ℝ | 2 < x ≤ 7} = (2; 7] . de capăt aparține intervalului ( x ≤ 7 ).