Page 18 - matematica-viii

16 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ UNITATEA 1

Definiție
Fie a și b numere reale, a < b .

Mulţimea tuturor numerelor reale mai mari decât a și Mulţimea tuturor numerelor reale mai mari sau

mai mici decât b se numește intervalul deschis (a; b) . egale cu a și mai mici sau egale decât b se numește
intervalul închis [a; b] .
(a; b ) = { x ∈ ℝ | a < x < b} [a; b] = { x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}

Îi corespunde pe axă mulţimea punctelor din interio- Îi corespunde pe axă mulţimea punctelor situate
rul segmentului AB (fără capete). pe segmentul AB (inclusiv capetele).

Mulţimea tuturor numerelor reale mai mari sau egale Mulţimea tuturor numerelor reale mai mari decât a
cu a și mai mici decât b se numește interval închis la și mai mici sau egale cu b se numește interval deschis

stânga și deschis la dreapta și se notează [a; b) . la stânga și închis la dreapta și se notează (a; b] .

[a; b) = { x ∈ ℝ | a ≤ x < b} (a; b] = { x ∈ ℝ | a < x ≤ b}

Reflectăm! Exersăm împreună!

 Intervalele definite mai sus sunt mărgi- 1. Scrieţi intervalele următoare sub formă de mulţimi definite printr-o
nite (capetele intervalelor sunt exprimate proprietate comună a elementelor:
prin numere reale).
 Intervalele sunt mulțimi de numere interval sub formă de interval sub formă de
reale, de regulă formate dintr-o infinitate mulţime mulţime
de numere.
 Intervalele au câte două capete; acestea [0; 5] {x ∈ ℝ |0 ≤ x ≤ 5 } (4 ; 10] {x ∈ ℝ |4 < x ≤ 10 }
pot fi deschise (capătul este însoțit de o [− 2; 7) {x ∈ ℝ |− 2 ≤ x < 7 } (− 0, 1 ; 0, 1) { x ∈ ℝ | − 0, 1 < x < 0, 1 }

paranteză rotundă) sau închise (capătul
este însoțit de o paranteză dreaptă). [2; 1) nu este o scriere pentru un interval pentru că 2 > 1
 Capătul deschis semnifică faptul că va- _ _ _ _
_

2

_

8

2
2
loarea de capăt nu este element al inter- ( √ ; √ − 1) Verificăm mai întâi dacă √ < √ − 1 ⇔ √ < 2 √ − 1 ⇔
_
_

_

2

8

8

2
2

valului (privit ca mulțime de numere), iar ⇔ 1 < √ adevărat, {x ∈ ℝ | √ < x < √ − 1 }
capătul închis semnifică faptul că valoarea
de capăt este element al intervalului. 2. Scrieţi sub formă de interval mulţimile următoare și precizaţi capetele:
 Capătul deschis semnifică o inegalitate mulţime sub formă de interval
strictă ( < , > ), iar capătul închis semnifică o

inegalitate nestrictă ( ≤ , ≥ ). a) {x ∈ ℝ |− 3 ≤ x < 2 } [− 3; 2) , capetele sunt –3 și 2
 Dacă a = b , atunci (a; b ) = (a; a ) = ∅ (ni-

ciun număr real nu poate fi în același timp b) {x ∈ ℝ |− 2 ≤ x ≤ 3 } [− 2 ; 3] , capetele sunt –2 și 3
mai mare și mai mic decât un număr dat) și c) {x ∈ ℝ | 2 < x < 3 } (2 ; 3) , capetele sunt 2 și 3

[a; b ] = [ a; a ] = {a} (singurul număr care este

în același timp mai mare sau egal și mai d) {x ∈ ℝ |− 2 < x ≤ 2 } (− 2 ; 2] , capetele sunt -2 și 2
mic sau egal cu un număr dat este numărul

însuși); nu au sens scrierile ( a; a ] și [ a; a) . 3. Precizaţi care dintre relaţiile următoare sunt adevărate și justificaţi:

 O condiție de tipul a ≤ x ≤ b (sau similară) im- A/F justificare
plică un răspuns de tip interval numai în cazul
rezolvării sale în mulțimea numerelor reale. a) 3 ∈ (− 8; 12] A trebuie verificat dacă − 8 < 3 ≤ 12 și se verifică
b) 4 ∈ (4; 7] F interval deschis în 4, deci 4 < 4 fals
_ _ _ _ _

3
c) 2 √ ∈ [3; 4] A 3 ≤ 2 √ ≤ 4 ⇔ √ ≤ √ 12 ≤ √ 16 adevărat
3

9