Page 20 - matematica-viii

18 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ UNITATEA 1

Rețineți!

− ∞ (minus infinit) și + ∞ (plus infinit) sunt simboluri care ne permit definirea unui nou tip de intervale, cu

unul dintre capete infinit; ℝ = (−∞ ; +∞)

Definiție
Fie a un număr real.

Mulţimea tuturor numerelor reale mai mari decât a Mulţimea tuturor numerelor reale mai mari sau egale

determină intervalul deschis (a; +∞) . cu a determină intervalul închis la stânga [a; +∞) .

(a; +∞ ) = { x ∈ ℝ | x > a} [a; +∞) = { x ∈ ℝ | x ≥ a}
Îi corespunde pe axă mulţimea punctelor de pe se- Îi corespunde pe axă mulţimea punctelor de pe se-

midreapta (AB , unde A este capătul de abscisă a și B midreapta [AB , unde A este capătul de abscisă a și

punct de abcisă mai mare ca a; paranteza rotundă B punct de abcisă mai mare ca a; paranteza dreaptă
asociată originii semidreptei semnalează că originea asociată originii semidreptei semnalează că originea
nu aparţine acesteia. aparţine acesteia.

Mulţimea tuturor numerelor reale mai mici decât a Mulţimea tuturor numerelor reale mai mici sau egale

determină intervalul deschis (− ∞ ; a) . cu a determină intervalul închis la dreapta (− ∞ ; a] .

(−∞ ; a) = { x ∈ ℝ | x < a} (− ∞ ; a] = { x ∈ ℝ | x ≤ a}
Îi corespunde pe axă mulţimea punctelor de pe se- Îi corespunde pe axă mulţimea punctelor de pe se-

midreapta (AC , unde A este capătul de abscisă a și C midreapta [AC , unde A este capătul de abscisă a și C

punct de abcisă mai mică decât a. punct de abcisă mai mică decât a.
Observații

◼ Intervalele pot avea ambele capete finite (exprimate prin numere reale), caz în care reprezentarea pe axă
corespunde unui segment de dreaptă sau unui punct, sau pot avea un capăt finit și unul infinit, caz în care re-
prezentarea corespunde unei semidrepte.
◼ Intervalele cu un capăt infinit nu pot fi decât deschise la capătul infinit.

◼ Pentru intervalele de tipul (a; +∞) și (−∞ ; a) , semidreptele corespunzătoare sunt deschise (nu conţin ori-

ginea semidreptei). Pentru intervalele de tipul [a; +∞) și (− ∞; a ] , semidreptele corespunzătoare sunt închise la

capătul finit (conţin originea semidreptei).

◼ O condiţie de tipul x < a (sau similară) implică un răspuns de tip interval numai în cazul rezolvării sale în
mulţimea numerelor reale.
Exersăm împreună!
Exemple
1. Precizaţi care dintre scrierile următoare reprezintă un interval:

 Dacă A = {− 2; −1; 0; 1; 2} și B = { x ∈ ℤ| |x| ≤ 2} ,

atunci relația A = B este adevărată, ambele a) (+ ∞ ; 2) ; b) [2; +∞) ; c) [− 3; +∞] ; d) (− ∞ ; −4] ; e) (0; +∞) .

mulțimi fiind formate din exact aceleași Rezolvare: a) fals, pentru că relaţia + ∞ < x < 2 este falsă. Corect este (2; +∞) ;

elemente. Spunem că mulțimile sunt egale. b) adevărat; c) fals, pentru că relaţia − 3 ≤ x ≤ + ∞ este falsă. Corect este

[− 3; +∞) ; d) adevărat; e) adevărat.