Page 166 - matematica-viii

164 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Exersăm împreună!
Reflectăm!

În plan, construcţia unei perpendiculare Pe planul pătratului ABCD , cu latura de 6 cm,

pe o dreaptă se face cu ajutorul echerului. se ridică perpendiculara AM , M ∉ (ABC) şi
_
În spaţiu, am observat că reprezentările AM = 3 √ cm . Determinați:

3

figurilor geometrice (în plane diferite de a) distanța de la M la BD ;
cele verticale) nu păstrează (întotdeauna)

măsurile unghiurilor, deci nu putem folosi b) distanța de la A la (MBD) .
echerul nici pentru a desena şi nici pentru Rezolvare.

a verifica o perpendicularitate. Teorema a) Distanța de la punctul M la BD reprezintă
celor trei perpendiculare ne ajută să con- distanța de la M la piciorul perpendicularei din M

struim perpendiculara dintr-un punct pe o pe BD , deci trebuie să construim această perpendiculară. În pătratul ABCD
dreaptă situată într-un plan, folosind pro- diagonalele sunt perpendiculare, deci AO ⊥ BD , unde {O} = AC ∩ BD . Se
prietăţile figurii din acel plan. În problema
alăturată, am stabilit perpendicularitatea creează astfel oportunitatea aplicării teoremei celor trei perpendiculare:

lui MO pe BD folosind teorema celor trei MA ⊥ (ABC) ⎫ T3⊥
⎪

perpendiculare. Discutaţi la nivelul cla- AO ⊥ BD ⎬  ⇒ MO ⊥ BD , deci d(M, BD ) = MO
⎪
sei o altă metodă pentru a demonstra că AO, BD ⊂ (ABC)⎭
MO ⊥ BD , O mijlocul segmentului BD , studi- _

2

ind, de exemplu, triunghiul MBD . AO = AC : 2 = 3 √ cm şi, aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul drept-
_

unghic MAO , MO = 3 √ cm .
5

b) Pentru a calcula distanța de la A la planul (MBD) trebuie să con-

struim perpendiculara din A pe plan.
AO ⊥ BD, AO ⊄ (MBD) ⎫
⎪

MO ⊥ BD, MO ⊂ (MBD) ⎬ ⇒ AE ⊥ (MBD) , deci d (A, (MBD)) = AE
⎪
Construim AE ⊥ MO, E ∈ MO⎭
Realizați desenul corespunzător şi calculați lungimea segmentului AE,
ştiind că este înălțime în triunghiul dreptunghic MAO.
Atenție!
Distanța de la un punct la o dreaptă, respectiv la un plan, înseamnă
lungimea segmentului corespunzător unei perpendiculare duse din
punctul respectiv pe dreaptă, respectiv plan, determinat de punct şi pro-
iecția punctului pe dreaptă, respectiv plan. Teorema celor trei perpendicu-
lare şi cele două reciproce ale acesteia reprezintă una dintre metodele cel
mai des folosite pentru construcția unor astfel de perpendiculare.
Exersați

1. În figura alăturată este reprezentat un pătrat ABCD şi perpendiculara MA pe planul acestuia.
Construiți perpendicularele din punctul M pe dreptele AB , BC , CD şi BD , precizând în fiecare

caz etapele de construcție.
2. Considerăm cubul ABCDA’B’C’D’ , cu latura de 8 cm şi punctul M mijlocul muchiei BC .
a) Determinați perpendicularele din B’ pe AD , AC şi AM .

b) Calculați distanțele de la B' la AD , AC şi AM .
3. Pe planul triunghiului isoscel ABC , AB = AC = 12 cm şi BC = 16 cm , se ridică perpendiculara AD , D ∉ (ABC) ,

AD = 8 cm . Punctul M este mijlocul segmentului BC .
a) Demonstrați că triunghiul DBC este isoscel. b) Demonstrați că DM ⊥ BC prin două metode.
c) Calculați d(D, BC) . d) Calculați distanța de la A la planul (DBC) .
e) Calculați sinusul unghiului dintre planele (DBC) şi (ABC) .