Page 170 - matematica-viii

168 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Fişa de observare a comportamentului
La finalul fiecărei unităţi de învăţare (un set de lecţii) este util să vă autoevaluaţi comportamentul în procesul de învă-
ţare şi nivelul de competenţe atins, completând o fişă de observare după modelul acesteia. Ea se referă la implicarea
voastră pe parcursul unităţii de învăţare şi la rezultatul obţinut la testul de autoevaluare propus la finalul ei. Adăugaţi
fişele la portofoliul personal.

Am progresat Referitor la test
Am colaborat cu colegii M-am pregătit pentru Am întrebat când am în învăţare prin
la activităţile propuse* fiecare lecţie* avut nelămuriri* parcurgerea acestui set Punctaj obţinut Ce am recitit înainte şi după test pentru
de lecţii a îmbunătăţi peformanţa

*Răspunsuri posibile: nu, parţial, da

Activități de remediere/consolidare/aprofundare

1. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ avem a) Determinați tangenta unghiului dintre BP şi A’B’ .

AB = 12 cm , BC = 8 cm şi AA’ = 6 cm . Punctul M este b) Determinați lungimile proiecțiilor segmentului MN
mijlocul muchiei B’C’ . Determinați: pe planele (ABC) , respectiv (BCC’) .
a) lungimea proiecției segmentului AM pe planul (BCC’) ; c) Demonstrați că (DMN) ∥ (BOP) .

b) tangenta unghiului dintre planele (MAB) şi (ABC) ; d) Calculați distanța dintre planele (DMN) şi (BOP) .
c) aria proiecției triunghiului MAD pe planul (ABC) .
6. În prisma triunghiulară regulată ABCA’B’C’ ,
2. În figura alăturată sunt AB = 12 cm , AA’ = 8 cm , G este centrul triunghiului ABC ,

reprezentate un plan α şi iar O intersecția diagonalelor dreptunghiului BCC’B’ .

punctele A şi B situate de o Determinați:

parte şi de alta a planului a) sinusul unghiului dintre OG şi (ABC) ;
astfel încât AB ⊥ α şi AO ≡ OB . b) tangenta unghiului dintre OG şi AA’ ;
Demonstrați că, oricare ar fi c) lungimile proiecțiilor segmentului A’G pe planele

un punct P ∈ α , are loc con-
gruența PA ≡ PB . (ABC) , respectiv (BCC’) .

Observaţie. Planul α descris în problemă (perpendi- 7. Considerăm triunghiul isoscel ABC , AB = AC = 8 cm ,

cular pe un segment în mijlocul acestuia) se numeşte ∢BAC = 120° , punctul D mijlocul segmentului BC şi
plan mediator al segmentului AB . perpendiculara MA ⊥ (ABC) , M ∉ (ABC) , MA = 8 cm .
3. Considerăm trei puncte necoliniare A , B şi C şi pla- Determinați:

nele α şi β – planele mediatoare ale segmentelor AB , a) lungimea proiecției segmentului MD pe (ABC) ;
res pectiv AC (vezi problema anterioară). Demonstrați b) distanța de la punctul C la planul (MAB) ;

că planele α şi β sunt concurente, iar dreapta lor de in- c) măsura unghiului dintre (MAB) şi (MAC) ;

tersecție este perpendiculară pe planul (ABC) . d) tangenta unghiului dintre planele (MBC) şi (ABC) ;
4. Pe planul dreptunghiului ABCD construim per- e) distanța de la punctul A la planul (MBC) .

pendiculara MA , M ∉ (ABC) , astfel încât MA = 5 cm . În 8. În piramida triunghiulară regulată VABC , fețele la-

punctul M construim dreptele distincte EM ⊥ AM şi terale sunt triunghiuri dreptunghice, M este mijlocul

FM ⊥ AM astfel încât BE = 5 cm . segmentului AC , iar lungimea laturii bazei este de 12 cm.
_
a) Demonstrați că (MEF) ∥ (ABC) . a) Demonstrați că VA = 6 √ cm .

2

b) Determinați d ((MEF) , (ABC)) şi d (B, (MEF)) . b) Calculați măsura unghiului dintre planele (VMB) şi

c) Demonstrați că punctele A , B , E şi M sunt coplanare. (VAC) .

5. Considerăm cubul ABCDA’B’C’D’ cu latura de c) Determinați lungimea proiecției segmentului AC pe
16 cm, punctele M , N şi P mijloacele muchiilor BC , C’D’ , planul (VAB) .

respectiv AD şi punctul O centrul bazei A’B’C’D’ . d) Determinați măsura unghiului dintre VM şi (VBC) .