Page 165 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 163

Teoremă Activitate pe grupe
Teorema celor trei perpendiculare.
Dacă o dreaptă a este inclusă Referitor la cubul ABCDEFGH din figura ur-

într-un plan α , o dreaptă d este mătoare, identificaţi un plan din care face

perpendiculară pe planul α şi îl in- parte BC şi o perpendiculară pe planul
tersectează în punctul O , OA este per- respectiv, astfel încât să putem demon-

stra că EB ⊥ BC folosind teorema celor trei

pendiculara din O pe dreapta a , A ∈ a şi perpendiculare. Comparaţi rezolvările între

M este un punct oarecare al dreptei d , grupe. Explicaţi de ce au fost posibile vari-

atunci dreapta MA este perpendicu- ante diferite?
lară pe dreapta a .
a ⊂ α ⎫
⎪

d ⊥ α, d ∩ α = {O} ⎬ ⇒ MA ⊥ a , oricare ar fi punctul M ∈ d .

OA ⊥ α, A ∈ a ⎪
⎭
Observăm că teorema celor trei perpendiculare corespunde cazului 1 din
aplicația anterioară, unde este prezentată şi o demonstrație a acesteia.
Celelalte două cazuri reprezintă reciprocele teoremei, pe care le prezentăm
în cele ce urmează.
Reciproca 1 Reciproca 2

Dacă o dreaptă a este inclusă într-un plan α , o Dacă într-un punct A aparținând unei drepte a

dreaptă d este perpendiculară pe planul α şi îl inter- dintr-un plan α se construiesc două perpendiculare

sectează în punctul O , M este un punct oarecare al pe dreaptă – dreapta b exterioară planului şi dreapta

dreptei d şi MA este perpendiculara din M pe dreapta c inclusă în plan –, atunci perpendiculara dintr-un

a , A ∈ a , atunci OA este perpendiculară pe dreapta a . punct al dreptei b (cea exterioară) pe dreapta c (cea
interioară) este perpendiculară pe planul α .
a ⊂ α ⎫ a ⊂ α, A ∈ a
d ⊥ α, d ∩ α = {O} ⎪ ⎫

⎬ ⇒ OA ⊥ a
⎪
⎪ b ⊥ a, b ⊄ α, b ∩ a = {A}

MA ⊥ a, M ∈ d, A ∈ a⎭ ⎬ ⇒ MO ⊥ α
c ⊥ a, c ⊂ α, c ∩ a = {A} ⎪
MO ⊥ c, M ∈ b, O ∈ c ⎭