Page 162 - matematica-viii

160 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Exersăm împreună!
Reflectăm!

 Planele de la punctul a) al problemei Considerăm cubul ABCDA’B’C’D’, cu latura
alăturate sunt perpendiculare. Demon- de 10 cm. Determinați:
straţi, folosind definiţia. a) măsura unghiului dintre planele (ABB’) şi

 Sunt situaţii în care măsura unghiului (ABC) ;
dintre plane se poate afla cu exactitate
aplicând proprietăţi ale figurii. De exem- b) măsura unghiului dintre planele (A’B’C)
plu, la punctul b), CB’ este diagonală a pă- şi (ABC) ;

tratului, deci putem afirma că ∢B’CB = 45° . c) tangenta unghiului dintre planele (A’BD)
Pentru punctul c), folosind tabelele tri- şi (ABC) .
gonometrice, am putea afla că măsura Rezolvare.

unghiului A’OA are o valoare situată în in-

tervalul (54°; 55°) , adică este aproximativ (ABB’ ) ∩ (ABC ) = AB ⎫
⎪

54°30’. Într-un astfel de caz, de regulă, ce- a) B’B ⊥ AB, B’B ⊂ (ABB’) ⎬ ⇒ ∢ ((ABB’ ) , (ABC)) = ∢B’BC = 90° ;
rinţa este de a determina o funcţie trigo- CB ⊥ AB, CB ⊂ (ABC) ⎪
⎭
nometrică a acestuia.

 Planele (A’BD) şi (ABC) formează diedrul (A’B’C ) ∩ (ABC ) = CD ⎫
determinat de semiplanele (BD, A’ şi (BD, A , b) B’C ⊥ CD, B’C ⊂ (A’B’C) ⎪ ⎬ ⇒ ∢ ((A’B’C ) , (ABC)) = ∢B’CB = 45°

precum şi diedrul determinat de se- (justificați!);
⎪
BC ⊥ CD, BC ⊂ (ABC)
miplanele (BD, A’ şi (BD, C . ⎭
De ce ∢ ((A’BD) , (ABC)) = ∢(A’OA) şi nu (A’BD ) ∩ (ABC ) = BD ⎫

⎪

∢ ((A’BD) , (ABC)) = ∢(A’OC) ? În formularea c) A’O ⊥ BD, A’O ⊂ (A’BD) ⎬ ⇒ ∢ ((A’BD ) , (ABC)) = ∢(A’OA) .

răspunsului ţineţi cont de faptul că unul ⎪
dintre unghiuri este ascuţit (de ce?), iar ce- AC ⊥ BD, AC ⊂ (AB C) ⎭
_
A’A
lălalt obtuz. în triunghiul dreptunghic A’AO : tg A’OA = _ = √ (verificați calculele!)

2

AO
Exersați
1. Măsura unui diedru este măsura unghiului determinat de orice două semidrepte incluse,
respectiv, în fețele diedrului? Observați figura alăturată şi stabiliți ce condiții trebuie să în-
deplinească OA şi OB astfel încât măsura unghiului AOB să fie măsura diedrului.
2. Pătratele ABCD şi ABEF au latura AB comună şi determină un diedru cu măsura de 90°.
a) Precizați două unghiuri plane corespunzătoare diedrului. Justificați alegerea.
b) Dacă AB = 10 cm , calculați DF .
c) Calculați măsura unghiului CAE .
3. Desenați o prismă patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ . Demonstrați că:
a) ∢ABC este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de fețele ABB’A’ şi BCC’B’ ;
b) ∢AA’D’ este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de fețele ABB’A’ şi A’B’C’D’ ;
c) ∢A’BA este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de fețele A’BCD’ şi ABCD .
4. Considerăm tetraedrul regulat ABCD şi M şi N mijloacele muchiilor AB , respectiv CD . Demostrați că:
a) ∢CMD este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de fețele ABC şi ABD ;
b) ∢ANB este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de fețele ACD şi BCD .

5. În piramida patrulateră regulată VABCD considerăm M mijlocul segmentului BC , O centrul pătratului ABCD şi
E situat pe muchia VB astfel încât AE ⊥ VB . Demonstrați că:
a) ∢VMO este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de fețele VBC şi ABCD ;
b) ∢AEC este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de fețele VAB şi VBC ;
c) ∢AOB este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de triunghiurile VOA şi VOB .