Page 167 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 165

4. Considerăm prisma triunghiulară ABCA’B’C’ , cu AB = 10 cm , AA’ = 5 cm şi punctul M mijlocul segmentului BC .
Calculați:
a) d(A’, BC) ; b) d(C’, AM) ; c) d (A, (A’BC)) .

5. Pe planul dreptunghiului ABCD ridicăm perpendiculara AM , M ∉ (ABC) .
a) Demonstrați că MB ⊥ BC şi MD ⊥ DC .
b) Explicați etapele de construcție a unei perpendiculare din M pe BD .
6. Pe planul triunghiului ABC ridicăm perpendiculara AM , M ∉ (ABC) . Dacă MN ⊥ BC , N ∈ BC , demonstrați că AN
este înălțime în triunghiul ABC .

7. Considerăm rombul ABCD cu AB = AC = 6 cm . Punctul M este situat în exteriorul planului rombului astfel încât

MA ⊥ (ABC) şi MA = 6 cm . Calculați d(M, BD) şi d(M, BC) .
_ _
3

8. Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ , AB = 4 √ cm , BC = 4 cm şi AA’ = 2 √ cm . Calculați:
6

a) d(A’, BC) ; b) d(A’, CD) ; c) d(A’, BD) ; d) d(A’, BC’) .
⏜

9. Considerăm un cerc de centru O şi rază 12 cm şi două puncte A şi B aparținând acestuia astfel încât AB = 120° .

În centrul cercului ridicăm perpendiculara OC pe planul acestuia, OC = 6 cm .
a) Calculați: d(C, AB) şi d (O, (ABC)) .
b) Calculați distanța de la C la o dreaptă d tangentă la cerc în punctul A .

c) Dacă M , N şi P sunt mijloacele segmentelor OA , OB , respectiv OC , demonstrați că planele (MNP) şi (ABC) sunt

paralele şi calculați distanța dintre acestea.

10. Considerăm un dreptunghi ABCD , AB = 9 cm , BC = 12 cm şi un punct M pe diagonala AC astfel încât MC = 2MA .

În punctul M se ridică perpendiculara MN pe planul dreptunghiului, MN = 4 cm . Calculați distanțele de la N la
dreptele AB şi AD .
11. Pe planul trunghiului oarecare ABC , AC = 16 cm , se ridică perpendiculara BE , BE = 28 cm . Se consideră punctul
F ∈ AC astfel încât EF ⊥ AC şi EF = 35 cm . Calculați aria triunghiului ABC .
12. Pe planul hexagonului regulat ABCDEF , cu latura de 12 cm, se ridică perpendiculara AM , AM = 6 cm . Calculați:
a) d(M, BC) ; b) d(M, CD) ; c) d(M, BE) ; d) d(M, BD) ; e) d ((MAB) , (NDE)) , unde ND ⊥ (ABC), N ∉ (ABC) .

13. Considerăm un triunghi dreptunghic isoscel ABC , AB = AC = 10 cm , şi înălțimea AD a acestuia, D ∈ BC . Pe pla-

_

3
nul triunghiului se ridică perpendiculara DM , DM = 5 √ cm . Determinați:

a) d(M, AC) ; b) d (D, (MAB)) .
14. În figura alăturată observăm o reprezentare a teoremei celor trei perpendi-

culare: MO ⊥ α , OA ⊥ a , OA, a ⊂ α ⇒ MA ⊥ a . Punctul B este un punct oarecare al

dreptei a , diferit de punctul A .
Notând, de exemplu, MO = x , OA = y şi AB = z (lungimi de segmente), de-

monstrați că ΔMAB este dreptunghic (o altă demonstraţie a teoremei celor trei
perpendiculare).