Page 164 - matematica-viii

162 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Teorema celor trei perpendiculare

Activitate practică

Pe o coală de hârtie desenăm o dreaptă a , un punct O ∉ a şi perpendi-
culara OA ⊥ a , A ∈ a . Fixăm cu bolduri în colțuri hârtia pe un polistiren şi

înfigem în punctul O o vergea (un băț, de exemplu), astfel încât aceasta să
fie perpendiculară pe planul colii de hârtie.
În desenul alăturat, am notat cu α planul colii de hârtie şi cu d ver-

geaua d ⊥ α .
Înfigeți un bold în punctul A şi legaţi punctul A de un punct oarecare

M ∈ d cu o sfoară. Verificați cu ajutorul unui echer perpendicularitatea
dintre dreptele a şi MA . Schimbați poziția punctului pe dreapta d şi verifi-

cați perpendicularitatea celor două drepte.
Exersăm împreună!

Să considerăm configurația din aplicația practică anterioară, în fiecare dintre următoarele cazuri:
Cazul 1 Cazul 2 Cazul 3
ştim: cercetăm: ştim: cercetăm: ştim: cercetăm:
a ⊂ α relația dintre a ⊂ α relația dintre a ⊂ α, A ∈ a relația dintre
d ⊥ α, d ∩ α = {O} a şi MA , M ∈ d d ⊥ α, d ∩ α = {O} OA şi a OA ⊥ a, OA ⊂ α MO şi planul α
OA ⊥ a, A ∈ a MA ⊥ a, M ∈ d, A ∈ a MA ⊥ a, M ∉ α
MO ⊥ OA

d ⊥ α, a ⊂ α ⇒ d ⊥ a a ⊥ OA

a ⊥ MA ⇒ a ⊥ (MOA)
a ⊥ OA ⎫ a ⊥ d ⎫ }

a ⊥ d ⎪ a ⊥ MA ⎪ OA ∩ MA = {A}
⎬ ⇒ a ⊥ (d, OA)

⎬ ⇒ a ⊥ (d, MA)
⎪ ⎪
d ∩ OA = {O}⎭ d ∩ MA = {M}⎭ cum MO ⊂ (MOA ) ⇒ a ⊥ MO
pentru orice M ∈ d, MA ⊂ (d, OA) O ∈ d, A ∈ MA ⇒ OA ⊂ (d, MA)

deci a ⊥ MA ⇔ MA ⊥ a deci a ⊥ OA ⇔ OA ⊥ a MO ⊥ OA ⎫
MO ⊥ a ⎪

OA, a ⊂ α ⎬ ⇒ MO ⊥ α

⎪
OA ∩ a = {A}⎭