Page 163 - matematica-viii
P. 163
UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 161
6. În prisma triunghiulară regulată ABCA’B’C’ , punctele M , N şi P sunt mijloacele muchiilor BC , BB’ , respec-
tiv CC’ . Demonstrați că:
a) ∢B’A’C’ este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de fețele ABB’A’ şi ACC’A’ ;
b) ∢AMA’ este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de triunghiurile ABC şi A’BC ;
c) ∢A’RA este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de triunghiurile A’NP şi ANP , unde R este mij-
locul segmentului NP .
7. O coală de carton dreptunghiulară ABCD , BC = 12 cm , este aşezată astfel încât AB să fie conținută în planul
mesei, iar distanța de la C la planul mesei să fie de 6 cm. Determinați măsura unghiului dintre planul colii de
carton şi planul mesei.
_
3
8. Pe planul triunghiului echilateral ABC , cu latura de 8 cm, se ridică perpendiculara AM , M ∉ (ABC) şi AM = 4 √ cm .
Punctul D este mijlocul segmentului BC .
a) Demonstrați că BD ⊥ (MAC) .
b) Determinați măsurile unghiurilor dintre planele: i) (MAB) şi (MAC) ; ii) (MBC) şi (ABC) .
9. Un carton în formă de pătrat ABCD , cu lungimea diagonalei de 8 cm, se îndoaie după diagonala AC astfel încât
măsura unghiului dintre planele (DAC) şi (CAB) să fie de u°. Determinați lungimea segmentului BD (după îndo-
ire) în fiecare dintre situațiile: a) u° = 60°; b) u° = 90°.
10. Un carton în formă de triunghi isoscel ABC , AB = AC şi BC = 10 cm , se îndoaie după mediana AD , D ∈ BC astfel
încât distanța dintre punctele B şi C (după îndoire) să fie de 5 cm. Determinați măsura unghiului dintre planele
(ABD) şi (ACD) .
11. Pătratul ABCD cu latura de 10 cm şi triunghiul echilateral ABE au latura AB comună şi sunt aşezate astfel încât
planele lor să fie perpendiculare. Determinați:
a) măsura unghiului dintre planele (EBC) şi (ABC) ; b) lungimea proiecției segmentului DE pe planul (ABC) ;
c) tangenta unghiului dintre planele (ECD) şi (ABC) ; d) aria proiecției triunghiului ECD pe planul (ABC) .
12. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC , ∢A = 90°, se ridică perpendiculara BM , M ∉ (ABC) . Se ştie că AB = 8 cm ,
BC = 16 cm şi BM = 8 cm .
a) Determinați ∢ ((MBA ) , (MBC)) . b) Demonstrați că (MAB ) ⊥ (ABC) .
c) Demonstrați că CA ⊥ (MAB) . d) Determinați ∢ ((MAC ) , (ABC)) .
Știați că?
La un avion, unghiul format de
orizontală cu linia mediană a unei
aripi poartă numele de „unghi
diedru al aripii”.
Proiect
În imaginea alăturată este reprezentată o fereastră cu deschidere ver-
ticală, cu înălțimea de 90 cm. Se doreşte montarea unui lănțişor (cablu)
la o distanță de 60 cm față de balama (față de baza fixă a ferestrei), care
să limiteze deschiderea ferestrei la maximum 30° față de ramă. Calculați
lungimea acestui lănțişor (cablu).
