Page 168 - matematica-viii

Recapitulare UNITATEA 4
Elemente ale geometriei în spațiu
166
Recapitulare

1. În piramida VABCD , punctele M şi N sunt mijloacele 8. În tetraedrul regulat ABCD , cu latura de 12 cm, con-

segmentelor AB , respectiv BC , iar punctele E şi F sunt siderăm AO ⊥ (DBC) , O ∈ (DBC) şi M mijlocul muchiei

centrele de greutate ale triunghiurilor VDC , respectiv AD . Determinați:
VAD . Demonstrați că M , N , E şi F sunt coplanare. a) d(O, AD) ; b) d (O, (ABC)) ;

2. Paralelogramul ABCD şi triunghiul ABE au latura AB c) sinusul unghiului ∢(OM, AC) .

comună şi sunt situate în plane diferite. Punctele M şi 9. Considerăm un unghi AOB inclus într-un plan α şi

N sunt mijloacele segmentelor AE , respectiv BE . De- un punct M care nu aparține planului. Ştiind că pro-

monstrați că dreptele CN şi DM sunt concurente. iecția punctului M pe planul α aparține bisectoarei

3. Pătratul ABCD şi triunghiul ABE au latura AB comună unghiului AOB , demonstrați că M este egal depărtat de

şi sunt situate în plane diferite. Punctele M şi N sunt laturile unghiului.
mijloacele segmentelor EA , respectiv EB , iar punctul O

este centrul pătratului ABCD . Demonstrați că: 10. Considerăm trapezul ABCD şi perpendicularele pe
a) MN ∥ (ABC) ; b) DC ⊂ (MNC) ; planul acestuia AM şi CN .
c) DB este secantă planului (CAE) ; a) Demonstrați că AM ∥ CN .
d) dreptele AB şi CE sunt paralele cu planul (MNO) . b) Demonstrați că (ABM ) ∥ (CDN) .

4. Pătratul ABCD şi triunghiul echilateral ABE au latura c) Dacă DA ⊥ BM , demonstrați că trapezul ABCD este

AB comună şi sunt situate în plane diferite, astfel încât dreptunghic.

∢DAE = 90° . Demonstrați că: d) În ce condiții dreapta MN este paralelă cu planul
a) DA ⊥ (ABE) ; b) CB ⊥ BE ; c) EC ≡ ED . trapezului?

5. În tetraedrul ABCD , punctele M , N , P şi R sunt mijloa- 11. Se consideră cubul ABCDA’B’C’D’ cu latura de 12 cm.

cele muchiilor AB , AC , DC , respectiv DB . Demonstrați că: Un plan α paralel cu planul (BCC’) intersectează mu-

a) MNPR este paralelogram; chiile AB , CD , C’D’ şi A’B’ în punctele E , F , G , respectiv

b) dreptele AD şi BC sunt paralele cu planul (MNP) ; H , iar AE = 3 cm .
c) dacă ∢DBC = ∢ADB = 90° , atunci DB ⊥ (MNP) . a) Demonstrați că EFGH este pătrat.

6. În prisma triunghiulară ABCA’B’C’ , punctele O , O b) Calculați d (α, (BCC’)) .

1 2

şi O sunt centrele fețelor laterale. c) Determinați valoarea raportului _ .

A’H

3

a) Demonstrați că ( O O O ) ∥ (ABC) . B’H

1 2 3 d) Calculați distanța de la B’ la CE .

b) Calculați raportul ariilor triunghiurilor O O O şi ABC .

1 2 3 e) Calculați distanța de la B’ la (ECC’) .

c) Demonstrați că distanța dintre planele ( O O O ) şi

1
3
2

(ABC) este egală cu distanța dintre planele ( O O O ) şi f) Demonstrați că planele (ECC’) şi (AFG) sunt paralele.

1 2 3
(A’B’C’) . g) Calculați distanța dintre planele (ECC’) şi (AFG) .

7. În paralelogramul ABCD , punctele M şi N sunt 12. Pătratul ABCD , cu latura de 10 cm, şi triunghiul

mijloacele laturilor BC , respectiv AD . Punctul P echilateral BCE sunt situate în plane diferite. Ştiind

este situat în exteriorul planului (ABC), astfel încât că măsura unghiului dintre dreapta BE şi planul (ABC)

∢PMC = 125° şi ∢PMN = 75° . Determinați măsurile este de 30°, determinați tangenta unghiului dintre
∢(PM, AD) şi ∢(PM, CD) . planele (EBC) şi (ABC) .