Page 172 - matematica-viii

170 Arii și volume ale unor corpuri geometrice
170 Arii și volume ale unor corpuri geometrice

Distanţe şi măsuri de unghiuri
pe feţele sau în interiorul corpurilor

geometrice studiate

Distanţa de la un punct la un punct, la o dreaptă sau la un plan

Ne amintim!

Activitate în echipe. Formaţi echipe şi recapitulaţi în cadrul acestora:
 distanţa dintre două puncte;
 distanţa de la un punct la o dreaptă;
 distanţa de la un punct la un plan;
 teorema celor trei perpendiculare şi cele două reciproce ale acesteia.
Pentru fiecare dintre acestea, aveţi în vedere o recapitulare a etapelor de calcul.

Exersăm împreună!

Considerăm un cub ABCDA’B’C’D’ cu latura de 12 cm şi punctul E mijlocul muchiei C’D’ .
Ne propunem să calculăm următoarele distanţe:
I. d(A, C) , d(A, C’) şi d(A, E)
 ​(A, C)​reprezintă lungimea segmentului AC , pe care o putem calcula folosind

d
_
2

teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC , AC = 12 √ cm .
AC este diagonala pătratului ABCD , iar formula diagonalei unui pătrat este
_

d = l √ , l fiind lungimea laturii pătratului.

2
pătrat
d

 ​(A, C’)​reprezintă lungimea segmentului AC’ , pe care o putem calcula, de

exemplu, aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ACC’ (justificaţi că
_
3

C’C ⊥ AC !): AC’ = 12 √ cm . _

3

AC’ este diagonală a cubului şi putem observa o formulă de calcul a acesteia: d = l √ , unde l este lungimea

cub
muchiei cubului.
 ​(A, E)​ reprezintă lungimea segmentului AE .
d
O variantă de calcul se bazează pe observaţia că ED’ ⊥ (ADD’) ⇒ ED’ ⊥ AD’ , care ne duce la posibilitatea apli-
cării teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AD’E : AE = 18 cm (verificaţi calculele!).
Triunghiul AA’E este şi el tot un triunghi dreptunghic, din care putem calcula AE .
II. d(A’, BC) , d(A’, BC’) şi d(A’, AE)
 Pentru d(A’, BC) trebuie să construim perpendiculara din A’ pe BC .

Folosind T3 ⊥ avem: A’A ⊥ (ABC) , AB ⊥ BC , AB, BC ⊂ (ABC) ⇒ A’B ⊥ BC , deci d(A’, BC) =

_
= A’B = 12 √ cm .

2

 Pentru d(A’, BC’) , construim A’F ⊥ BC’ folosind aceeaşi idee: includem BC’ în planul

(BB’C’) şi aplicăm T3 ⊥ , calculul lui A’F realizându-se în triunghiul dreptunghic A’B’F .