Page 173 - matematica-viii

UNITATEA 5 Arii și volume ale unor corpuri geometrice 171

Pe de altă parte, ΔA’BC’ este un triunghi echilateral (laturile lui sunt diagonale ale feţelor cubului), iar
d(A’, BC’) reprezintă lungimea unei înălţimi a acestuia.

 Pentru d(A’, AE) , construcţia unei perpendiculare din A’ pe AE folosind T3 ⊥ ar putea fi mai anevo-

ioasă. Punctele A’ , A şi E determină triunghiul A’AE , triunghi care se poate constata uşor că este unul drept-

_

unghic. d(A’, AE) reprezintă înălţimea corespunzătoare ipotenuzei în acest triunghi, deci d( A’, AE​) = A’A ⋅ A’E

=
_ c ⋅ c AE

1 _

5

= 4 √ cm , folosind formula h = 2

.
i
III. d (A’, (BB’C’)) , d (A’, (BB’D’)) şi d (A’, (AB’D’))

 Pentru a calcula d (A’, (BB’C’)) trebuie mai întâi să construim sau să identificăm

o perpendiculară din A’ pe planul (BB’C’) şi, cum A’B’ ⊥ (BB’C’) (justificaţi!), obţinem

d (A’, (BB’C’)) = A’B’ = 12 cm .

 Pentru a calcula d (A’, (BB’D’)) studiem dacă nu este deja construită o per-

pendiculară din A’ pe planul (BB’D’) . Nu există, deci trebuie construită. Observăm
că (BB’D’) ⊥ (A’B’C’) (justificaţi!), deci o perpendiculară din A’ pe planul (BB’D’)

va fi o perpendiculară pe dreapta de intersecţie a celor două plane. În consecinţă
_

2

d (A’, (BB’D’)) = A’O’ = 6 √ cm , unde {O’} = A’C’ ∩ B’D’ .
O variantă de construcţie a perpendicularei se putea baza şi pe faptul că (AA’C’) ⊥ (AB’D’) , dar această per-
pendicularitate se​observă mai greu.

 Pentru a calcula d (A’, (AB’D’)) construim, folosind reciproca teoremei celor trei perpendiculare, o perpen-

diculară din A’ pe planul (AB’D’) : B’D’ ⊂ (AB’D’) , AO’ ⊥ B’D’, AO’ ⊂ (AB’D’) , A’O’ ⊥ B’D’ ; construind A’H ⊥ AO’
_

obţinem A’H ⊥ (AB’D’) , deci d (A’, (AB’D’)) = A’H = 4 √ cm (verificaţi calculele!).

3

IV. Demonstraţi că (AB’D’) ∥ (BC’D) şi calculaţi d ((AB’D’) , (BC’D))
 Demonstraţi paralelismul celor două plane.
Pentru a calcula distanţa dintre cele două plane este suficient să calculăm dis-
tanţa de la un punct situat în unul dintre cele două plane la celălalt plan. Alegem

punctul O’ ∈ (AB’D’) (mijlocul segmentului B’D’ ) şi construim perpendiculara din

acesta pe planul (BC’D) : BD ⊂ (BC’D) , C’O ⊥ BD , C’O ⊂ (BC’D) , O’D ⊥ BD şi, construind
O’E ⊥ C’O , obţinem O’E ⊥ (BC’D) . _

3

În concluzie d ((AB’D’) , (BC’D)) = d (O’, (BC’D)) = O’E = 4 √ cm (verificaţi

calculele!).
Observaţii
 Calculul distanţei dintre două puncte se bazează, de cele mai multe ori, pe identificarea unui triunghi
dreptunghic care are una dintre laturi segmentul determinat de cele două puncte, urmată de aplicarea teoremei
lui Pitagora în triunghiul identificat.
 Calculul distanţei de la un punct la o dreaptă se bazează pe:
 studierea figurii, pentru identificarea existenţei perpendicularei din punct pe dreaptă;
 aplicarea teoremei celor trei perpendiculare, pentru construcţia perpendicularei din punct pe dreaptă şi
calcularea lungimii acesteia;
 identificarea unui triunghi în care punctul este unul dintre vârfuri, iar latura opusă acestuia este inclusă
în dreapta respectivă şi calcularea înălţimii triunghiului corespunzătoare laturii respective.
 Calculul distanţei de la un punct la un plan se bazează pe:
 studierea figurii, pentru identificarea existenţei perpendicularei din punct pe plan;
 aplicarea reciprocei teoremei celor trei perpendiculare, pentru construcţia perpendicularei din punct pe
plan şi calcularea lungimii acesteia;
 construcţia perpendicularei din punct pe plan prin alte metode – de exemplu, folosind definiţia sau pro-
prietăţile planelor perpendiculare şi calcularea lungimii acesteia.