Page 22 - matematica-viii

ℝ

de
numer

e

erv
Int
a
e
l
r
uații
Inec

în

a
e
l
.
e
20 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ UNITATEA 1
20
UNIT
A
1
TEA
Exersați
1. Precizaţi care scriere reprezintă un interval. Corectaţi scrierile greșite pentru a obţine intervale.

a) (− 4; 4) ; b) (3; 0) ; c) [− 3; 3] ; d) (− 3; −4] ; e) [5; 10) .

2. Precizaţi care dintre relaţii sunt adevărate: _
_
_
_

3

2
_

2

a) − 1 ∈ (− 4; 4) ; b) 0 ∈ (−1; 1) ; c) √ + √ ( √ ; √ d) − 5 ∈ [− 3; 2] ; e) 4 ∈ (− 3; 4] ;

3) ;
∈
2

f) 0 ∈ (−0,3; 0,1) ; g) 1 ∈ [− 5; 0) ; h) 2 ∈ (2; 8] ; i) 8 ∈ (2; 8) ; j) 4 ∈ (−3; 4] .

3. Reprezentaţi pe axa numerelor mulţimile și stabiliţi care dintre ele reprezintă un interval:

A = {− 2; 4} , B = {x ∈ ℕ | −2 ≤ x ≤ 4} , C = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x ≤ 4} , D = {x ∈ ℝ | − 2 ≤ x ≤ 4} .

4. Scrieţi sub formă de interval mulţimile următoare:

a) { x ∈ ℝ | −8 ≤ x < 0} ; b) { x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 4} ; c) { x ∈ ℝ | 0 < x < 5} ; d) { x ∈ ℝ | −1 < x ≤ 2} .

5. Scrieţi intervalele următoare sub formă de mulţimi definite printr-o proprietate comună a elementelor:
_

a) [− 1; 3] ; b) [− 7; 7) ; c) (− 4; √ ] ; d) (− 2, 1(8 ) ; 0, 12(7)) .

8

6. Se consideră intervalul [− 5 ; 4) . Determinaţi:

a) cel mai mic număr întreg din interval; b) cel mai mare număr întreg din interval;
c) numărul de numere întregi din interval; d) suma numerelor întregi din interval;
e) diferenţa dintre cel mai mare număr întreg și cel mai mic număr întreg din interval.
7. Reprezentaţi intervalele numerice pe axa numerelor, în fiecare caz în parte:
_
_
3

3

a) [− 1; 3) ; b) (4; 6] ; c) [0; 2] ; d) (− 3; 3) ; e) (1,5; 3,5) ; f) [− √ ; √ ] (pentru acest caz, fie utilizând o modali-

tate de a construi segmente de lungimi numere iraţionale date, fie utilizând aproximări ale acestor numere).
8. Scrieţi intervalele corespunzătoare segmentelor despre care se cunosc:

a) [AB] , cu A(−2) și B(4) ; b) (CD) , cu C(−1) și D(3) ; c) [EF) , cu E(−2) și F(5) ; d) (GH] , cu G(−4) și H(−1, 5) ;

e) [MN] , cu un capăt de abscisă 0 și MN = 3 (pentru ambele cazuri);
f) [PQ] , cu mijlocul segmentului de abscisă 0 și PQ = 8 .

9. Care scriere reprezintă un interval: a) (+ ∞; −2) ; b) [− 2; + ∞) ; c) [3; +∞] ; d) (− ∞ ; 4] ; e) (0; + ∞) ?

Corectaţi scrierile greșite pentru a obţine intervale.
10. Precizaţi care dintre relaţii sunt adevărate:
1 _

a) − 1 ∈ (−1; +∞) ; b) 0 ∈ (−∞; 3) ; c) 0 ∈ (− 2; +∞) ; d) 1 ∈ (− ∞; 1] ; e) 7 ∈ (− 3; 7] ; f) 0 ∈ (− ; +∞) ; g) − 1 ∈ (−∞ ; 1) .
2
11. Scrieţi sub formă de interval mulţimile următoare:

a) { x ∈ ℝ | −5 ≤ x} ; b) { x ∈ ℝ | x ≤ − 1} ; c) { x ∈ ℝ | 8 < x} ; d) { x ∈ ℝ | x < 10} .

12. Scrieţi intervalele următoare sub formă de mulţimi definite printr-o proprietate comună a elementelor:

a) [6; +∞) ; b) [− 6; +∞) ; c) (− ∞; 12] ; d) (− ∞; 16) ; e) (5,5; +∞) .

13. Daţi exemplu de interval care: _
a) conţine exact un număr natural; b) conţine pe 2 √ ;
3
c) nu conţine niciun număr întreg; d) conţine numere oricât de mari;
e) conţine exact două numere naturale, dintre care unul să fie capăt al intervalului.
14. Reprezentaţi intervalele numerice pe axa numerelor:
a) [− 1; +∞) ; b) (− ∞ ; 3] ; c) (− 2; +∞) ; d) (−∞; 4) .

15. Scrieţi intervalele corespunzătoare semidreptelor despre care se cunosc:

a) [AB , cu A(−3) și B(1) ; b) (CD , cu C(4) și D(3) ;

c) (EF , cu E(−1) și originea axei aparţine semidreptei;

d) (GH , cu G(−5) și originea axei nu aparţine semidreptei.
16. Care dintre relaţiile următoare sunt adevărate?

a) (4; 5] ⊂ [4; 5] ; b) [− 2; 1] ⊂ (− 2; 2] ; c) [0; 3] ⊂ (− ∞ ; 5) ; d) (− 2; 5] ⊂ (− 2; +∞) ; e) (0; 3) ⊂ (− 5; −3) .

17. Precizaţi care dintre relaţiile următoare sunt adevărate:

a) {x ∈ ℝ | x < − 2} = (− ∞; − 2) ; b) {x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 5} = (1 ; 5) ;
c) {x ∈ ℤ| − 1 < x < 1} = (− 1 ; 1) ; d) {x ∈ ℝ | − 7 < x ≤ 3} = ( − 7; 3] .