Page 21 - matematica-viii

UNITATEA 1 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ 19

2. Scrieţi sub formă de interval mulţimile următoare:

a) { x ∈ ℝ | −3 ≤ x} ; b) { x ∈ ℝ | x ≤ − 5} ; c) { x ∈ ℝ | 2 < x} ; d) { x ∈ ℝ | x < 0} . Exemple

Rezolvare: a) [− 3; + ∞) ; b) (− ∞ ; −5] ; c) (2; +∞) ; d) (− ∞; 0) .  Dacă A = {− 2; −1; 0; 1; 2} și C = { 0; 1} , atunci

3. Scrieţi intervalele următoare sub formă de mulţimi definite printr-o relația C ⊂ A este adevărată, toate elemen-

proprietate comună a elementelor, după model: [0; + ∞) = { x ∈ ℝ | x ≥ 0} . tele mulțimii C fiind și elemente ale mulți-

a) [− 2; +∞) ; b) (− ∞ ; 1] ; c) (− ∞; 6) ; d) (5; +∞) . mii A . Spunem că mulțimea C este inclusă

în mulțimea A ; mai mult, C reprezintă o

4. Precizaţi care dintre relaţiile următoare sunt adevărate: submulțime a mulțimii A .
a) 3 ∈ (−1; +∞ ) ; b) 3 ∈ (−∞ ; 3) ; c) 4 ∈ (− 3; 4] ; d) − 1 ∈ (−∞ ; 2) .

Rezolvare: a, f, a, a.
Observații
Desenăm pe axa numerelor punctele A(−3) , B(1) , C(2) , D(3) .
Activitate pe grupe
Cum intervalele reprezintă mulţimi, rezultă că relaţiile de incluziune Decupați din carton 52 de dreptunghiuri
și de egalitate între intervale au aceeași semnificaţie ca cele de la mulţimi, de dimensiunea unei cărți de joc. Pe 20
descrise anterior. dintre ele se vor scrie numere reale (dife-

Observăm că segmentul BC se găsește în interiorul segmentului AD . rite), pe câte 4 dintre ele simbolurile + ∞ ,

Putem scrie acest lucru cu ajutorul intervalelor [1; 2] ⊂ [− 3; 3] . Mai putem respectiv − ∞ . Restul de 24 de dreptun-

ghiuri se vor împărți câte 6, pe fiecare set
spune și că: (1; 2 ) ⊂ [− 3; 3] , [1; 2] ⊂ (−3; 3) , (1; 3 ) ⊂ (1; 3] , (−3; 3 ) ⊂ (−3; +∞ ) . se va trece câte unul dintre simbolurile de

Incluziunea [−3; 3 ) ⊂ (−3; +∞) este falsă, pentru că numărul –3 se gă- capăt de interval: (, ), [, respectiv ]. Se vor
sește în primul interval și nu se găsește în al doilea interval. pregăti astfel atâtea seturi a câte 52 de
Precizaţi care dintre relaţiile următoare sunt adevărate: (− ∞; 1) ⊂ (− ∞; 2) ; cărți câte grupe de câte 4 se pot forma cu

(− 3; 1) ⊂ (− ∞; 3) ; [− 3; 3] ⊂ (1; 3) ; [− 3; 2) ⊂ (− ∞; 2) ; (1; 2] ⊂ (− ∞; 2) ; elevii (+/− 1 elev pe grupă).

În grupe de câte 4 elevi, se alege drept
(1; +∞) ⊂ (− 3; +∞) . carte de început una care să conțină unul

dintre semnele ( sau [ și se așază cu fața
în sus pe tăblia mesei, între elevi. Se vor
Reflectăm! amesteca cărțile rămase și apoi se vor îm-
părți, fiecare jucător primind câte 4 cărți.
 Spre exemplificare, dacă a, b, c, d ∈ ℝ , în condiţiile în care a < b și Se decide jucătorul care începe jocul și

c < d , atunci [a; b) = [c; d) dacă și numai dacă a = c și b = d . În consecinţă, acesta va pune o carte care se potrivește

[a; b) ≠ [c; d) dacă a ≠ c sau b ≠ d . la dreapta cărții de început, în cazul acesta

un număr. Următorul jucător trebuie să

 În condiţiile anterioare, dacă [a; b) ⊂ [c; d) , atunci c ≤ a < b < d sau pună obligatoriu un număr sau un sim-

c < a < b ≤ d (incluziune strictă). bol de tip infinit, dar cu condiția de a da
 Orice două intervale care nu sunt de același tip (din punct de vedere sens unei scrieri de tip interval. Următorul
al capetelor – închise/deschise) sunt diferite. jucător poate pune doar un capăt care să
Exemplu: [a; b) ≠ (c; d), oricare ar fi a, b, c, d numere reale, a < b, c < d. finalizeze scrierea de tip interval. Urmă-
torul trebuie să pună pe un nou rând un
capăt de interval ș.a.m.d. În cazul în care,
atunci când este la rând, jucătorul nu are
Exersăm împreună!
nicio carte care se potrivește, este obligat
să tragă de jos carte. Dacă nu mai sunt cărți
1. Daţi exemplu de interval în fiecare dintre cazurile: a) interval închis la de tras, jucătorul care nu are o carte con-
ambele capete; b) interval deschis la stânga și închis la dreapta; c) două venabilă va zice pas. Jocul se finalizează
intervale diferite; d) două intervale într-o relaţie de incluziune. fie când un jucător reușește să pună jos
2. Determinaţi numerele reale a și b astfel încât: toate cărțile din mână − caz în care este și

a) (2; a) = (b; 5) ; b) (2; a) ⊂ (b; 5) ; c) (b; 5) ⊂ (2; a) ; câștigător, fie când toți cei 4 jucători spun

consecutiv pas și nu mai sunt cărți de ales,
d) (2; a) ⊂ [b; 5] ; e) [2; a] ⊂ (b; 5) . ceea ce înseamnă că jocul s-a blocat și va

Rezolvare: a) a = 5, b = 2 ; b) 2 < a ≤ 5, b ≤ 2 . Discutaţi la nivelul clasei cele- fi declarat învingător jucătorul cu cele mai
lalte cerinţe. puține cărți în mână.