Page 174 - matematica-viii

172 Arii și volume ale unor corpuri geometrice UNITATEA 5

Măsura unghiului dintre două drepte, dintre o dreaptă și un plan, dintre două plane

Ne amintim!

Activitate în echipe. Formaţi echipe şi recapitulaţi în cadrul acestora:
 măsura unghiului dintre două drepte;
 măsura unghiului dintre o dreaptă şi un plan;
 măsura unghiului dintre două plane.
Pentru fiecare dintre acestea, aveţi în vedere o recapitulare a etapelor de calcul.

Exersăm împreună!
_

3

În piramida triunghiulară regulată SABC , AB = 6 √ cm şi SO = 4 cm , punctul M este

_
1 _
SN

mijlocul laturii BC , iar N este situat pe SA astfel încât = .

SA 3

1. Calculaţi măsura ∢ (SA, BC) şi sinusul unghiului ∢(NO, SC) .

Rezolvare. BC ⊥ (SAM) (justificaţi) şi SA ⊂ (SAM) ⇒ BC ⊥ SA , deci ∢ (SA, BC) = 90° .

Identificăm o paralelă la ON care să intersecteze dreapta SC : O este centrul tri-

OM
SN
1 _
1 _
_

unghiului echilateral ABC , deci _ = , şi cum = , aplicând reciproca teoremei lui
AM 3 SA 3
Thales obţinem ON ∥ SM . _
MC
_
_
ON∥SM

∢(NO, SC) = ∢(SM, SC) = ∢MSC ⇒ sin (∢MSC) = , sin(∢ MSC) = 3 √ 39 (verificaţi!).
26
SC
2. Calculaţi tangentele unghiurilor dintre: a) SB şi (ABC) ; b) SB şi (SAM) .
p r S = O
2 _

a) (ABC) ⇒ p r SB = OB ⇒ ∢ (SB, (ABC)) = ∢SBO , tg(∢SBO) = ;

B ∈ (ABC) } (ABC) 3
_
p r B = M 3 √
3
_

b) (SAM) ⇒ p r SB = SM ⇒ ∢ (SB, (SAM)) = ∢BSM , tg(∢BSM) = .

S ∈ (SAM) } (SAM) 5
3. Calculaţi:

a) cosinusul unghiului dintre (SBC) şi (ABC) ;
b) cosinusul unghiului dintre (SOB) şi (SAM) ;
c) măsura unghiului dintre (SAM) şi (SBC) .

Rezolvare:
a) (SBC) ∩ (ABC) = BC ⎫
⎪

SM ⊥ BC, SM ⊂ (SBC) ⎬ ⇒ ∢ ((SBC) , (ABC)) = ∢SMO ;

⎪
OM ⊥ BC, OM ⊂ (ABC)⎭
b) (SOB) ∩ (SAM) = SO ⎫
⎪

BO ⊥ SO, BO ⊂ (SOB) ⎬ ⇒ ∢ ((SOB) , (SAM)) = ∢BOM .

⎪
MO ⊥ SO, MO ⊂ (SAM)⎭
c) BC ⊥ (SAM)
⇒ (SBC ) ⊥ (SAM) ⇒ ((SBC ) , (SAM)) = 90° .

BC ⊂ (SBC) }
Justificaţi perpendicularităţile anterioare şi calculaţi cosinusurile celor două unghiuri.