Page 175 - matematica-viii

UNITATEA 5 Arii și volume ale unor corpuri geometrice 173

Relaţii între elemente în piramida regulată

Considerăm piramida triunghiulară regulată VABC , O centrul bazei şi M mijlocul
segmentului BC . În triunghiul echilateral ABC , notând cu l lungimea laturii:
_
l √
_
 ​AM​ este mediană şi înălţime, AM = 3 ; _

2
l √
_
notată

 ​OM​ este apotema triunghiului şi este o treime din mediana AM , OM = a = 3 ; _

6
b
l √
_
 ​OA​ este raza cercului circumscris triunghiului şi este egală cu două treimi din mediana AM , OA = R = 3 .

3
Triunghiul dreptunghic Triunghiul dreptunghic VOA
VOM face legătura între înăl- face legătura dintre înălţimea

ţimea piramidei (h) , apotema piramidei (h) , raza cercului cir-

bazei ( a ) şi apotema pirami- cumscris bazei (R) şi muchia
b
dei ( a ) : h + a = a . piramidei (m) : h + R = m .

2
2
2
2
2
2
p
p
b
Activitate în echipe
Studiaţi raţionamentele realizate anterior pentru o piramidă triunghiulară regulată şi, lucrând în echipe,
realizaţi raţionamente echivalente pentru o piramidă patrulateră regulată, respectiv pentru o piramidă hexago-
nală regulată. Individual, realizaţi câte o fişă pentru fiecare dintre cele trei tipuri de piramide regulate şi păstraţi
fişele în portofoliul personal.
Relaţii între elemente în trunchiul de piramidă regulată
Considerăm trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ ,

O şi O’ centrele bazelor şi M şi M’ mijloacele segmentelor BC , respectiv
B’C’ . În reprezentarea din figura alăturată am notat cu B lungimea laturii

bazei mari, b lungimea laturii bazei mici, h înălţimea trunchiului, m mu-

chia trunchiului şi a apotema trunchiului.

tr
B _
b _

 ​OM​ şi O’M’ sunt apotemele bazelor, OM = a = şi O’M’ = a = ; _

2
2
b
B
2
_

 ​OA​şi O’A’ sunt razele cercurilor circumscrise bazelor, OA = B √
,

2
_
2
_
O’A’ = b √ .

2
Cele trei trapeze dreptunghice evidenţiate în figură realizează legăturile între elementele trunchiului de pira-
midă. Studiaţi imaginile din tabelul următor şi justificaţi relaţiile corespunzătoare.

h + ( a − a ) = a _ _ 2 B _ b _ 2
2

2

2
2
2
B √
_

B b tr h + ( _ − b √ ) = m a + ( − ) = m
2

2

2

2

2
2
2
2
tr