Page 32 - matematica-viii

30 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ UNITATEA 1

Exersăm împreună!
Activitate în perechi
 Identificați și explicați diferențele dintre 1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţiile:
2 − 5x
3
− 5
− 4

≤ 0 și

3 _
_

inecuațiile _ _ ≤ 0 , apoi rezol- a) < 0 ; b) ≥ 0 ; c) ≤ 0 ; d) _ e) _ > 0 ;

2
_
1

< 0 ;

2 − 5x
3
2x + 3
_
_
vați în ℝ fiecare dintre inecuațiile date. x − 1 6 x + 3 4x 0 √ 27 − 3 √ x + 4
7
3 − 1

3
_
_
_
_
≥ 0 ; g) ≤ 0 ;
< 0 .

 Analizați și formulați o strategie de f) − 12x − 18 2 − x h) 3x + 1 ≥ 0 ; i) x
1
_
x − 3

_

rezolvare a inecuației ≤ 1 . Cum se Rezolvare: a) < 0 . Cum 1 > 0 , fracţia este negativă dacă x − 1 < 0 . Această

x − 1
2

modifică strategia de rezolvare în cazul condiţie include și condiţia de existenţă a fracţiei: x − 1 ≠ 0 ; S = (− ∞ ; 1) ;
_
_
_
_

3
3
3
2
_
_
_
0 _
inecuației ≤ 1 ? i) √ 27 − 3 √ < 0 ⇔ 3 √ − 3 √ < 0 ⇔ < 0 ⇔ 0 < 0 , fals; ∅ .

x − 3
x
x
x
− 4

≥ 0 ,
2. Precizaţi valoarea de adevăr a enunţului următor: Inecuaţia _
2x − 3
4
,
x ∈ ℝ este echivalentă cu inecuaţia _ .

≤ 0 , x ∈ ℝ Argumentaţi.

2x − 3
Exersați
1. Efectuaţi proba sau utilizaţi altă strategie prin care să verificaţi că valorile menţionate sunt soluţii ale inecu-
aţiilor date (în ℝ ):
_
_
2 _
4 _

a) x = 4 , pentru 5x − 2 ≥ 3 ; b) x = 2 , pentru 2x − 4 > 0 ; c) x = − , pentru x + 0,2 ≤ 0 ; d) x = √ , pentru x √ − 2,3 ≤ 0 .

5

5

3
3
2. Completaţi, pentru a obţine afirmaţii adevărate:

a) Dacă inecuaţia 3x − 2 < 0 admite în ℝ mulţimea c) Dacă inecuaţia 4x − 8 ≤ 0 admite în ℝ mulţimea
2 _

soluţiilor S = − ∞; , atunci inecuaţia 3x − 2 ≥ 0 soluţiilor S = (− ∞; 2] , atunci inecuaţia 4x − 8 < 0 ad-

(
3)
admite în ℝ mulţimea soluţiilor …. . mite în ℝ mulţimea soluţiilor …. .

b) Dacă inecuaţia 5 − 2x > 0 admite în ℝ mulţimea d) Dacă inecuaţia 3 − 3x ≥ 0 admite în ℝ mulţimea

5 _

soluţiilor S = ( − ∞; ) , atunci inecuaţia 5 − 2x ≥ 0 soluţiilor S = (− ∞; 1] , atunci inecuaţia 3 − 3x < 0 ad-

2
mite în ℝ mulţimea soluţiilor …. .
admite în ℝ mulţimea soluţiilor …. .
3. Rezolvaţi inecuaţiile în mulţimea numerelor reale: _

8
a) 10x − 5 ≥ 0 ; b) 2x − 9 ≤ 0 ; c) 4x − 12 > 0 ; d) x − √ < 0 ;
_
_
1 _
e) x + 3 ≥ 0 ; f) 5x + 0,2 < 0 ; g) 0,3x + 1, 2x > 0 ; h) 2x √ + √ ≤ 0 .

6
2

2
4. Determinaţi mulţimile:
3x + 10
|
2x − 1
|
|
_

≤ 5 .

a) A = x ∈ ℝ − 2 ≤ x − 2 ≤ 1 ; b) B = x ∈ ℝ − 1 ≤ _ < 3 ; c) x ∈ ℤ 2 < _ }

3
{
5
2
{
}
}
{
x − 2
Indicaţie: a) − 2 ≤ _ ≤ 1 ∣ ⋅3 ⇔ − 6 ≤ x − 2 ≤ 3 ∣ +2 ⇔ − 4 ≤ x ≤ 5; A = [− 4; 5] .

3
5. Rezolvaţi inecuaţiile în mulţimea numerelor reale:
− 4
1
_
x _
_

a) _ ≥ 0 ; b) ≤ 0 ; c) − 2 > 0 ; d) − + 5 < 0 .

x + 3
2
4x − 6
− 3x − 8
6. Aduceţi la forma ax + b ≥ 0 sau echivalentă ( ≤ ,<,>), unde a ≠ 0 , inecuaţiile următoare, apoi rezolvaţi-le în
mulţimea numerelor reale:
x _
x _
1 _
1 _

a) 4x + 1 < 3 ; b) 2x + 6 ≥ 3 − x ; c) 8x + 3 > 9x − 4 ; d) 3(x + 1 ) ≤ x + 3 ; e) + > + ;

2
3
3
2
_
_
x − 2
_
x _

8

f) 2x − 1 < 2x + 3 ; g) 4 − x ≥ 5 − x ; h) ≤ + 7 ; i) 3(1 − 2x ) ≥ 3(1 − x ) − 3x ; j) x √ + 1 < 2x √ + 2 .
2

0
3
3
7. Folosind notaţiile date, rezolvaţi inecuaţiile următoare, în ℝ , prin metoda algebrică:

a) 3(1 − x ) − 4(x − 1 ) + 1 > 3x − 3 ; notaţia x − 1 = a ; b) x + (−x) − 2(−x) ≥ 3(−x) − (−x) − 2 ⋅ [1 − (−x)] ; notaţia − x = t ;
_ _ _ _ _
1 _
1 _
2 _
x _
1 _
1 _

c) (x − ) + (2x − 1) + 2 < 3( − ) ; notaţia x − = b ; d) 2 ⋅ (3x − √ ) + 2 ≥ √ x √ − 1) + √ ; notaţia x √ − 1 = t .
3

3
3

3

3(

2
2
3
3
3
6
8. Activitate în pereche
Pornind de la inecuaţia în necunoscuta t , t ∈ ℝ , 3(t − 2 ) + 2 ⋅ [− (3t + 1 ) − 2] + 1 ≥ 2t − 5 , rezolvaţi inecuaţia cores-

not

punzătoare, în necunoscuta x , știind că t = 2x + 1 . Ce strategie de rezolvare aţi utilizat?
9. Rezolvaţi în ℝ inecuaţiile următoare și interpretaţi geometric în raport cu axa numerelor reale:
_
2| ≤ 1 ;

a) |4x − 2| < 3 ; b) |2x + 5| ≤ 1 ; c) |1 − 2x| < 4 ; d) |x √ _

e) |4 − 2x| ≥ 0 ; f) |3 − 5x| ≤ 0 ; g) |1 − 4x| > 0 ; h) |− x √ | < 0 .

5