Page 28 - matematica-viii

26 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ UNITATEA 1

Acum știm, Observații
deci putem rezolva!
Rezolvați inecuațiile următoare în mulți- ◼ Pentru inecuaţia 5x + 2 ≤ 0 scădem din ambii membri 2, deci
mea numerelor reale: 5x + 2 − 2 ≤ 0 − 2 , și obţinem 5x ≤ − 2 .

⟋
⟋
a) 3 + 2x ≥ 5 ; b) 2x − 3 ≤ − 3x + 7 ; ◼ Pentru inecuaţia 5x − 2 ≤ 0 adunăm în ambii membri 2, așadar

c) (x − 1 ) + 2(x − 1 ) − 3(1 − x ) < 6 .

⟋
⟋
Rezolvare: c) (x − 1 ) + 2(x − 1 ) − 3(1 − x ) < 6 ⇔ 5x − 2 + 2 ≤ 0 + 2 , și obţinem 5x ≤ 2 .

⇔ x − 1 + 2x − 2 − 3 + 3x < 6 ⇔ 6x − 6 < 6 ⇔ În ambele cazuri, rezolvarea inecuaţiei continuă prin împărţirea am-

⇔ 6x < 12 ⇔ x < 2 ; S = (−∞ , 2) . bilor membri la 5, care este pozitiv, deci nu se schimbă sensul inegalităţii.
Exersăm împreună!
Reflectăm!

Rezolvăm (x − 1 ) + 2(x − 1 ) − 3(1 − x ) < 6 prin 1. Rezolvaţi inecuaţiile următoare în mulţimea numerelor reale:
_
altă metodă: a) 2x + 8 ≥ 0 ; b) 2x + 5 ≤ 0 ; c) 4x + 22 > 0 ; d) x + √ < 0 .
7

(x − 1 ) + 2(x − 1 ) − 3(1 − x ) < 6 ⇔ (x − 1 ) + Rezolvare: 2x + 8 ≥ 0 | −8 ⇔ 2x ≥ − 8 | : 2 ⇔ x ≥ − 4 ; S = [− 4; +∞) .
+ 2(x − 1 ) + 3(x − 1 ) < 6 . Notăm x − 1 = y și re-
zolvăm inecuația y + 2y + 3y < 6 ⇔ 6y < 6 ⇔ 2. Efectuaţi proba sau utilizaţi altă strategie prin care să verificaţi că va-

⇔ y < 1 . Revenim la necunoscuta x și ob- lorile menţionate sunt soluţii ale inecuaţiilor date (în ℝ ): _

ținem x − 1 < 1 ⇔ x < 2 și x ∈ ℝ , rezultă că a) x = 0 pentru 2017x + 0,(47 ) > 0 ; b) x = 1 pentru 3x − √ 10 > 0 .
mulțimea soluțiilor inecuației inițiale este Rezolvare: a) Înlocuim în inecuaţia 2017x + 0,(47 ) > 0 pe x cu 0 și obţinem

S = (−∞; 2) . 0,(47 ) > 0 , adevărat; x = 0 este soluţie a inecuaţiei 2017x + 0,(47 ) > 0 .
Metoda prin care se utilizează o notație 3. Completaţi, pentru a obţine o afirmaţie adevărată:
3 _
su plimentară față de necunoscuta iniți- Dacă inecuaţia 4x − 3 ≥ 0 admite în ℝ mulţimea soluţiilor S = ; +∞ , atunci

ală este o metodă algebrică, bazată pe [4 )

necunoscute auxiliare (secundare) și pe inecuaţia 4x − 3 < 0 admite în ℝ mulţimea soluţiilor …..

substituție (înlocuire). În cazul de față, ne- Rezolvare: Dacă inecuaţia 4x − 3 ≥ 0 admite în ℝ mulţimea soluţiilor
3 _
cunoscuta inițială (principală) este x , necu- S = ; +∞ , atunci inecuaţia 4x − 3 < 0 admite în ℝ mulţimea soluţiilor

noscuta auxiliară este y , unde y = x − 1 , care [4 )
3 _

înlocuiește peste tot în inecuația inițială S = − ∞; .
(
4)
expresia x − 1 .
Observații
◼ Inecuaţia 3 + 2x ≥ 5 poate fi adusă la forma ax + b ≥ 0 folosind:
• proprietatea de comutativitate a adunării, 3 + 2x = 2x + 3 , deci inecu-
Acum știm, aţia se rescrie: 2x + 3 ≥ 5 ;
deci putem rezolva!
• scăderea cu 5 din ambii membri, 2x + 3 − 5 ≥ 5 − 5 , de unde 2x − 2 ≥ 0 .

not
Folosind notația x − 3 = m , rezolvați ine- ◼ Inecuaţia 2x − 3 ≤ − 3x + 7 poate fi adusă la forma ax + b ≤ 0 folosind:

cuația x − 3 + 2(x − 3 ) − 2 ≤ 5(x − 3 ) + 1 în ℝ , • adunarea cu 3x în ambii membri, 2x − 3 + 3x ≤ − 3x + 7 + 3x și reducerea

prin metoda algebrică.
Atenție! Necunoscuta principală este x, termenilor asemenea, (2x + 3x ) − 3 ≤ (−3x + 3x ) + 7 , obţinând 5x − 3 ≤ 7 ;

deci rezolvarea presupune determinarea • scăderea cu 7 din ambii membri, 5x − 3 − 7 ≤ 7 − 7 și reducerea terme-
soluțiilor pentru x. nilor asemenea, obţinându-se 5x − 10 ≤ 0 .
Rețineți!
Considerăm a un număr real, a > 0 . În aceste condiţii, a poate reprezenta o distanţă. În imaginea ur-

mătoare sunt evidenţiate, într-un prim caz, toate punctele de pe axă cu proprietatea că au distanţa faţă de

origine mai mică sau egală cu a , corespunzând tuturor numerelor reale x cu proprietatea că |x| ≤ a și, în alt

caz, toate punctele de pe axă cu proprietatea că au distanţa mai mare decât a, corespunzând tuturor nume-
relor reale x cu proprietatea că |x| > a