Page 29 - matematica-viii

UNITATEA 1 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ 27

Acum știm,
deci putem rezolva!
Ce interpretare geometrică, în raport cu axa

numerelor reale, putem da scrierii |x − 2| < 1 ,

unde x ∈ ℝ ? Dar scrierii |2x + 1| ≤ 3 ,

unde x ∈ ℝ ?
Rezolvare: |x − 2| < 1 ⇔ − 1 < x − 2 < 1 ⇔
⇔ 1 < x < 3 ceea ce corespunde intervalu-
,
lui (1, 3) . Observăm că 2 corespunde mijlo-
cului segmentului determinat de capetele
de abscise 1 și 3. Astfel, pe axă, mulțimea
soluțiilor reprezintă toate punctele aflate la
distanță mai mică decât 1 față de numărul 2.

Pentru cazul |2x + 1| ≤ 3 putem împărți

relația prin 2 , 2 > 0 , ținând cont și de
|x| < a ⇔ − a < x < a ⇔ x ∈ (− a; a) , a > 0 ; proprietățile modului, și obținem prin
2|
|
|x| ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a ⇔ x ∈ [− a; a ] , a > 0 ; echivalență relația x + ≤ , pe care o
3 _
1 _

2
|x| > a ⇔ x ∈ (− ∞ ; − a) ∪ (a; + ∞) , a > 0 ; aducem la forma x − ( − ) ≤ . Soluțiile

|
2 |
3 _
1 _

2

|x| ≥ a ⇔ x ∈ (− ∞ ; − a ] ∪ [a; + ∞) , a > 0 . inecuației au ca reprezentare, pe axa nu-
merelor, punctele aflate la distanță mai
3 _

mică sau egală cu față de punctul de
2
1 _
Exersăm împreună! abscisă − .

2
Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţiile:
a) |x| ≤ 3 ; b) |x| < 6 ; c) |x| < − 2 ; d) |x| > 1 ; e) |x| ≥ 4 ; f) |x| ≥ − 2 .

Rezolvare. a) |x| ≤ 3 ⇔ x ∈ [− 3; 3] ; b) |x| < 6 ⇔ x ∈ (− 6; 6) , S = (− 6; 6) ;

c) |x| < − 2 , modulul unui număr real este un număr pozitiv, deci S = ∅ ;
d) |x| > 1 ⇔ x ∈ (− ∞; −1) ∪ (1; +∞) ; e) |x| ≥ 4 ⇔ x ∈ (− ∞; − 4] ∪ [4; +∞) ;

f) |x| ≥ − 2 ⇔ x ∈ ℝ ; un număr pozitiv este mai mare ca unul negativ, S = ℝ .
Rețineți!

În condiţiile în care x ∈ ℝ este un număr real dat (cunoscut) și x ∈ ℝ este necunoscuta, în tabel sunt evi-
0
denţiaţi pașii de rezolvare pentru inecuaţiile următoare, precum și interpretarea pe axa numerelor:
Cazuri d ∈ ℝ , d ≥ 0 (rol de distanţă) d ∈ ℝ , d > 0 (rol de distanţă)
Inecuaţie x − x ≤ d x + x ≤ d x − x < d x + x < d
0|
0|
|
|
|
0|
|
0|
Pas 1 − d ≤ x − x ≤ d − d ≤ x + x ≤ d − d < x − x < d − d < x + x < d
0
0
0
0

Pas 2 x − d ≤ x ≤ x + d − x − d ≤ x ≤ − x + d x − d < x < x + d − x − d < x < − x + d

0 0 0 0 0 0 0 0
Pas 3 S = x − d; x + d S = − x − d; − x + d S = ( x − d; x + d) S = ( − x − d; − x + d)

]
]
[
0
0
0
0
0
0
0
[ 0
Observaţie Dacă d = 0 , S = x Dacă d ≤ 0 ,
{ 0}
S = ∅
Dacă d < 0 , S = ∅

Notaţii A(x) punct oarecare de pe axa numerelor, de abscisă x ; B( x ) punct fixat de pe axa numerelor, de

0

abscisă x ; C(− x ) punct fixat de pe axa numerelor, de abscisă − x ;

0 0 0
Interpretare AB ≤ d AC ≤ d AB < d AC < d
geometrică în Toate punctele A si- Toate punctele A situate Toate punctele A si- Toate punctele A situate

raport cu axa tuate la o distanţă la o distanţă mai mică tuate la o distanţă la o distanţă mai mică
numerelor mai mică sau egală sau egală cu d faţă de C . mai mică decât d decât d faţă de C .

cu d faţă de B . faţă de B .