Page 30 - matematica-viii

28 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ UNITATEA 1

Cazuri d ∈ ℝ , d ≥ 0 (rol de distanţă) d ∈ ℝ , d > 0 (rol de distanţă)

Semnificaţia În notaţiile M( x − d) , M’( x + d) , P(− x − d) și P’(− x + d)

0
0
0
0
geometrică obţinem ca reprezentare pe axă a mulţimii soluţiilor:
a mulţimii segmentul [MM’] de segmentul [PP’] de segmentul (MM’) de segmentul (PP’) de

soluţiilor lungime 2d ce ad- lungime 2d ce admite lungime 2d ce ad- lungime 2d ce admite
mite punctul B drept punctul C drept mijloc, mite punctul B drept punctul C drept mijloc,
mijloc, MB = BM’ . PC = CP’ . mijloc, MB = BM’ . PC = CP’ .
Activitate pe grupe Observații
Completați pașii de rezolvare a inecuații- La geometrie, punctul stă la baza oricărei construcţii geometrice, este
lor în necunoscuta x ∈ ℝ , precum și inter-
pretarea geometrică reprezentând pe axă o noţiune primară (la fel ca numărul în aritmetică) și nu are dimensiune.

mulțimile soluțiilor: a) |x − 4| ≤ 2 ; Puteţi explica astfel de ce segmentele [MM’] și (MM’) au aceeași lungime,

;

b) |x + 2| ≤ 4 c) |x − 1| < 5 d) |x + 5| < 1 . deși [MM’] ≠ (MM’) !
;
Reflectăm!
Andrei vrea să afle toate numerele reale care au proprietatea că, dacă la 3 adunăm dublul unui astfel de număr,
rezultatul este cel puţin egal cu 5. El își amintește etapele de rezolvare a unei astfel de probleme și redactează astfel:
Pasul 1. Identificarea cunoscutelor și necunoscutelor

Notez cu x numerele care trebuie să îndeplinească toate condiţiile problemei.
Precizez ce tip de numere caut: x ∈ ℝ .

Pasul 2. Scrierea relaţiilor corespunzătoare datelor problemei
3 + 2x ≥ 5 , unde condiţia cel puţin egal cu 5 este echivalentă cu mai mare sau egal cu 5.
Pasul 3. Încadrarea relaţiilor într-un context teoretic învăţat
Am de rezolvat în mulţimea numerelor reale inecuaţia 3 + 2x ≥ 5 .
Cunosc faptul că pot aplica transformări ale relaţiei adunând sau scăzând din ambii membri o ace-
eași valoare, respectiv înmulţind sau împărţind ambii membri printr-un același număr nenul, dar
în acest caz ţinând cont de semnul numărului.
Știm că soluţiile unei inecuaţii în mulţimea numerelor reale reprezintă o mulţime de tip interval.
Pasul 4. Etapa de rezolvare (construcţia soluţiilor)
3 + 2x ≥ 5 |− 3 (scad din ambii membri 3, ca să separ cunoscutele de necunoscute)

⟋

3 ⟋ + 2x − 3 ≥ 5 − 3 (reduc termenii asemenea)

2x ≥ 2 |: 2 > 0 (împart ambii membri prin 2, mai mare ca 0, deci nu modifică sensul inegalităţii)

x ≥ 1 și x ∈ ℝ (ţin cont de tipul de numere precizat în enunţ); S = [1, +∞)
Pasul 5. Etapa de verificare (proba)
Nu pot verifica fiecare număr care aparţine mulţimii obţinute în relaţia iniţială, dar pot:
• fie să testez cu câteva numere, de exemplu capătul finit al intervalului, un alt număr din intervalul
obţinut și un număr care nu aparţine intervalului;
• fie să mă folosesc de proprietatea că dublul oricărui număr mai mare sau egal cu 1 reprezintă un
număr mai mare sau egal cu 2, la care, adăugând 3, obţinem un număr mai mare sau egal cu 5, ceea
ce îmi spune că valorile din interval verifică toate condiţiile problemei.

Pasul 6. Formularea răspunsului
Numerele reale care îndeplinesc condiţiile date sunt toate numerele reale mai mari sau egale cu 1,

adică orice număr real din intervalul [1, +∞) .
Vă propunem să rezolvaţi următoarele exerciţii individual, apoi explicând unui coleg strategia folosită.