Page 27 - matematica-viii
P. 27
UNITATEA 1 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ 25
Rețineți!
Reflectăm!
Mulţimea soluţiilor inecuaţiei conţine toate valorile care îndepli- A identifica o soluție (prin observare, in-
nesc simultan condiţiile: tuiție și probă) nu asigură rezolvarea com-
– valorile verifică relaţia de inegalitate; pletă a unei inecuații (la fel la ecuații);
– valorile aparţin mulţimii de numere în care se caută soluţiile rezolvarea completă presupune identifica-
(precizată în enunţ, de regulă). rea completă a mulțimii soluțiilor.
În cazul rezolvării inecuaţiilor în mulţimea numerelor reale, mulţi-
mea soluţiilor poate fi exprimată prin intervale.
Observații
Exersăm împreună! Considerăm inecuația 2x + 5 > 0 și nume-
_
1 _
rele − 2, 0, 3, , √ . Toate cele 5 valori veri-
3
4
1. Rezolvaţi ecuaţiile următoare, în mulţimile precizate: fică relația de inegalitate, însă:
a) x + 3 = 0 , în ℤ ; b) 4x − 2 = 0 , în ℚ ; c) 5 − 2x = 0 , în ℕ ; – în cazul rezolvării inecuației în ℕ , vom
_
_
_
_
1 _
2
8
2
3
d) 0,5x + = 0 , în ℝ ; e) x √ + √ = 0 , în ℝ ; f) √ − x √ = 0 , în ℝ . accepta ca soluții doar pe 0 și 3, deci mul-
3
țimea soluțiilor conține aceste două valori
Rezolvare: _ _ _ _ ca elemente, dar poate conține și alte va-
2
8
2
a) x + 3 = 0 ⇔ x = − 3 ∈ ℤ ; e) x √ + √ = 0 ⇔ x √ = − 2 √ ⇔ x = − 2 ∈ ℝ . lori numere naturale; în fapt S = ℕ ;
2
2. Rezolvaţi inecuaţiile următoare, în mulţimile precizate: – în cazul rezolvării inecuației în ℤ ,
a) x + 3 > 0 , în ℤ ; b) 4x − 2 ≥ 0 , în ℚ ; c) 5 − 2x < 0 , în ℕ ; vom accepta ca soluții doar pe − 2, 0 și 3,
_
deci mulțimea soluțiilor conține aceste
_
_
_
1 _
8
2
d) 0, 5x + ≤ 0 , în ℝ ; e) x √ + √ < 0 , în ℝ ; f) √ − x √ ≥ 0 , în ℝ . trei valori ca elemente, dar poate con-
3
2
3
Rezolvare: a) x + 3 > 0 ⇔ x > − 3; S = {−2; −1; 0; 1; 2 . . .} ; ține și alte valori numere întregi; în fapt
_
_
_
_
2
8
e) x √ + √ < 0 ⇔ x √ < − 2 √ ⇔ x < − 2; S = (−∞; −2) . S = ℕ ∪ {− 2, −1} ;
2
2
– în cazul rezolvării inecuației în ℚ , vom
3. Fără a aplica transformări ale inecuaţiilor, ci doar ţinând cont de mulţi- 1 _
3
mile soluţiilor identificate la 2., precizaţi mulţimile soluţiilor inecuaţiilor: accepta ca soluții doar pe − 2, 0, 3 și ,
deci mulțimea soluțiilor conține aceste
a) x + 3 ≤ 0 , în ℤ ; b) 4x − 2 < 0 , în ℚ ; c) 5 − 2x ≥ 0 , în ℕ ; 4 valori ca elemente, dar poate conține
_
_
_
_
1 _
3
2
2
d) 0, 5x + > 0 , în ℝ ; e) x √ + √ ≥ 0 , în ℝ ; f) √ − x √ < 0 , în ℝ . și alte valori numere raționale; în fapt
8
3
5 _
Rezolvare: a) Dacă inecuaţia x + 3 > 0 ⇔ x > − 3 , deci S = {− 2; −1; 0; 1; 2 . . .} , S = ( − ; +∞ ) ∩ ℚ (adică toate numerele
2
atunci inecuaţia x + 3 ≤ 0 are soluţia S = {. . . , −4, −3} . raționale din intervalul de numere reale
_
_
8
e) Dacă inecuaţia x √ + √ < 0 are soluţia S = (−∞; −2) , atunci inecuaţia obținut);
2
_
_
8
x √ + √ ≥ 0 are soluţia S = [−2; +∞) . – în cazul rezolvării inecuației în ℝ , vom
2
accepta ca soluții toate cele cinci va-
lori, dar mulțimea soluțiilor poate con-
ține și alte valori numere reale; în fapt
5 _
Rețineți! S = ( − ; +∞ ) .
2
Inecuaţii de forma ax + b ≥ 0 ( ≤ , <, >), unde a, b ∈ ℝ , a ≠ 0 , x ∈ ℝ
Inecuaţia ax + b ≥ 0 |− b 2 cazuri, după semnul coeficientului lui x
ax ≥ − b |: a > 0 Activitate în perechi
b _
b _
x ≥ − S = [ − ; +∞ ) Colaborați în pereche și explicați strate-
a
a
ax + b ≥ 0 ax ≥ − b gia folosită pentru a scrie câte o inecuație
ax ≥ − b |: a < 0 pentru fiecare dintre cazurile următoare:
b _
b _
x ≤ − S = ( − ∞, − ] a) inecuația admite numărul 0 ca element
a
al mulțimii soluțiilor;
a
b) inecuația admite intervalul (−∞; 4) ca
Inecuaţiile de forma ax + b ≥ 0 ( ≤ ,<,>), unde a, b ∈ ℝ , cu a ≠ 0 , se mulțime a soluțiilor;
numesc inecuaţii de gradul I (întâi), denumirea fiind datorată faptului c) numărul − 2 nu este element al mulțimii
că necunoscuta x este prezentă la puterea 1 ( x = x ); a și b se numesc soluțiilor inecuației.
1
coeficienţi, iar b se numește și termen liber (semnifică faptul că nu este Rezolvați inecuațiile ax + b < 0 , ax + b ≤ 0
,
înmulţit cu necunoscuta). și ax + b > 0 , unde a, b ∈ ℝ cu a ≠ 0 , după
modelul alăturat. Ce se întâmplă dacă a = 0 ?
