Page 31 - matematica-viii

UNITATEA 1 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ 29

Exersăm împreună!
Reflectăm!

1. Determinaţi toate numerele reale care au proprietatea că triplul unui ast-  Produsul dintre două numere (expresii)
fel de număr din care se scade 5 reprezintă un număr cel mult egal cu 10. este pozitiv dacă ambii factori ai produsu-
Rezolvare: Notez cu x numerele care trebuie să îndeplinească toate con- lui au același semn.

 Produsul dintre două numere (expresii)
diţiile problemei, x ∈ ℝ . Atunci, 3x − 5 ≤ 10 ⇔ 3x ≤ 15 ⇔ x ≤ 5 ; S = (− ∞; 5] . este negativ dacă factorii produsului au
2. Determinaţi toate numerele reale care au proprietatea că sfertul unui semne opuse.
astfel de număr la care se adună 3 reprezintă un număr mai mare decât 1.  Raportul dintre două numere (expresii)
este pozitiv dacă numărătorul și numitorul
Rezolvare: Notez cu x numerele care trebuie să îndeplinească toate con- au același semn.

x _
x _

diţiile problemei, x ∈ ℝ . Atunci, + 3 > 1 ⇔ > − 2 ⇔ x > − 8 ; S = (− 8; +∞) .  Raportul dintre două numere (expresii)
4
4
3. Determinaţi toate numerele reale mai mari sau egale cu 1 care au pro- este negativ dacă numărătorul și numito-
rul au semne opuse.
prietatea că dublul unui astfel de număr din care se scade 10 reprezintă un  Un produs este 0 dacă cel puțin unul
număr mai mic decât − 2 . dintre factorii săi este 0.
Rezolvare: Notez cu x numerele care trebuie să îndeplinească toate condi-  Un raport este 0 dacă numărătorul este 0.

 Într-un raport, numitorul nu poate fi 0.
ţiile problemei, x ≥ 1, x ∈ ℝ . Atunci, 2x − 10 < − 2 ⇔ 2x < 8 ⇔ x < 4 . Soluţia

inecuaţiei este x ∈ (− ∞; 4) , dar condiţia problemei este x ∈ [1; +∞) . Acum știm,

Așadar, soluţia problemei este x ∈ [1; +∞) ∩ (− ∞; 4) = [1; 4) . deci putem rezolva!
3
≤ 0 . Dacă x este o
Fie relația alăturată, _

2x − 1

variabilă reală , care este mulțimea de va-

lori ale lui x pentru care raportul este mai
Reflectăm!
mic sau egal cu 0?
Enunțul implică rezolvarea unei inecuații
3
≤ 0 . Ce condiţii de bună definire trebuie să impunem?

Fie relaţia _ pe mulțimea numerelor reale, cu particu-

2x − 1
Observăm că singura operaţie care necesită condiţii prin care să asi- laritatea că membrul stâng este o fracție
care trebuie să fie negativă sau egală cu 0.
gurăm buna definire (existenţa sau faptul că are sens matematic) este ope- Cum numărătorul este 3 , diferit de 0, re-
3
raţia de împărţire din cadrul raportului. Astfel, raportul _ zultă că fracția nu poate fi egală cu 0. De

este bine
2x − 1

definit dacă numitorul este diferit de 0, deci punem condiţia 2x − 1 ≠ 0 ⇔ asemenea, cum 3 > 0 (pozitiv), pentru ca
fracția să fie negativă, trebuie ca numitorul
3
1 _
este bine definită (are sens) pentru

⇔ x ≠ . Așadar, fracţia (raportul) _ să fie de semn opus numărătorului, deci

2
2x − 1
1 _

oricare x ∈ ℝ − { } . 2x − 1 < 0 . Am redus studiul la o inecuație
2
.
de forma ax + b < 0

2x − 1 < 0 |+ 1 echivalent cu 2x < 1 , de unde,

prin împărțirea ambilor membri prin 2 ,
1 _
1 _

2 > 0 , rezultă x < , adică x ∈ ( − ∞; ) .

Rețineți! 2 2
Ținând cont că mulțimea de valori în care
căutăm răspunsul, în urma impunerii con-
a
< 0 (>, ≤ , ≥ ),
Etapele de rezolvare, în ℝ , a inecuaţiilor de forma _ diției de existență, este ℝ − { } , rezultă

1 _

bx + c

unde b ∈ ℝ * , a, c ∈ ℝ sunt: 2
1 _
mulțimea soluțiilor S = ( − ∞; ) .

2
a

< 0 (>, ≤ , ≥ )
Inecuaţia _

bx + c
Observație
Pas 1. Scrierea și, eventual, rezolvarea condiţiei de existenţă
asupra numitorului: bx + c ≠ 0 Se poate remarca faptul că putem corela
condiția de existență (numitor diferit de 0)
Pas 2. Stabilirea semnului numărătorului sau dacă acesta este 0.
cu condiția de semn a numărătorului, ast-
Pas 3. Impunerea semnului numitorului astfel încât raportul fel că impunerea doar a condiției 2x − 1 < 0
semnelor numărătorului și numitorului să aibă ca rezul- le include pe cele menționate anterior (op-
tat o fracţie ce îndeplinește condiţia problemei. timizarea rezolvării). Totuși, este recoman-
dabil ca, într-o astfel de abordare, să faceți
Pas 4. Scrierea mulţimii soluţiilor ca rezultat al intersecţiei precizarea că rezolvarea ține cont de buna
mulţimilor rezultate la pașii anteriori. definire a fracțiilor, scriind condițiile de
existență fără neapărat a le rezolva.