Page 39 - matematica-viii
P. 39
UNITATEA 2 Calcul algebric în ℝ 37
Exersăm împreună!
Exemple!
Care sunt coeficienții și care este partea literală a expresiilor: E(x) = 5 x este o expresie algebrică for-
3
a) E(x ) = 12 x ; b) E(x, y ) = 4 x y ; c) E(a, b, c ) = a b c ; d) E(x ) = 20 ? mată dintr-un termen cu coeficientul 5
2
5
6
4
3
3
Rezolvare: c) Pentru E(a, b, c ) = a b c coeficientul este 1 și partea lite- și partea literală x . Această expresie de-
6
4
rală este a b c , implicând necunoscutele a, b și c ; pinde de o singură necunoscută: x .
4
6
d) E(x ) = 20 , așadar coeficientul este 20 și partea literală este x . E(x, y) = 2x + 3y este o expresie algebrică
0
(care depinde de două necunoscute) for-
Ana are cu 1 leu mai mult decât Maria. Ce sumă are fiecare fată, dacă mată din doi termeni, primul termen, 2x ,
dublul sumei Anei împreună cu triplul sumei Mariei reprezintă 52 de lei? are coeficientul 2 și partea literală x , iar al
Rezolvare: Notând cu x suma de bani a Mariei, suma de bani a Anei este doilea termen, 3y , are coeficientul 3 și par-
x + 1 . Rezolvăm ecuația: 2(x + 1 ) + 3x = 52 ⇔ 2x + 2 + 3x = 52 ⇔ 2x + 3x = 50 tea literală y .
⇔ 5x = 50 ⇔ x = 10 . Așadar Ana are 11 lei și Maria are 10 lei. E(x) = 4x + 8x – 5x este o expresie alge-
brică formată din trei termeni asemenea.
Termenii 2x și 3x se numesc termeni asemenea (au aceeași necunoscută Putem efectua calculele: E(x) = x(4 + 8 – 5) = 7x.
la aceeași putere), între aceștia putându-se efectua calcul de tip adunare
sau scădere, denumit și reducerea termenilor asemenea.
Definiție
Doi termeni ai unei expresii algebrice se numesc termeni asemenea Reflectăm!
dacă au aceeași parte literală.
Am folosit în anii trecuți expresii algebrice?
Știm că 2 + 3 = 3 + 2 sau 5 + 6 = 6 + 5 . Adu-
narea numerelor este comutativă pentru
Exemple! orice numere reale. Exprimăm această pro-
prietate astfel: a + b = b + a , oricare a, b ∈ ℝ .
Termenii 3 a și a sunt asemenea. La fel și termenii 5ab și ba ! Termenii Aria unui dreptunghi o exprimăm pe scurt
2
2
2x și 2y nu sunt asemenea. La fel și termenii 2x și 2 x ! A = L ⋅ l . De exemplu, dacă L = 5 cm și l = 4 cm,
2
aria dreptunghiului este A = 5 ⋅ 4 = 20 cm .
2
Exemple de reducere a termenilor asemenea: Scrie și tu astfel de relații care să reprezinte
3 a + a = (3 + 1) a = 4 a ; 5ab − ba = 5ab + (−1 ) ab = 4ab . Am folosit pro- calcul cu numere exprimate prin litere.
2
2
2
2
prietățile operațiilor studiate.
Citiți cu atenție informațiile din tabelul următor și formulați concluzii privind exemplele de calcul cu numere
reprezentate prin litere. Prin aceste exemple v-ați reamintit reguli și proprietăți ale calculului numeric și ați putut
observa că regulile și proprietățile operațiilor cu numere se pot aplica și calculului cu numere reprezentate prin litere.
Calcul numeric Exemple de calcul cu numere Observații
reprezentate prin litere
3 ⋅ 7 + 2 ⋅ 7 = 2 ⋅ 7 + 3 ⋅ 7 = (2 + 3 ) ⋅ 7 = 5 ⋅ 7 ; ax + bx = bx + ax = (a + b ) x ; comutativitatea adunării,
3 ⋅ 7 − 2 ⋅ 7 = (3 − 2 ) ⋅ 7 = 1 ⋅ 7 = 7 ; ax − bx = (a − b ) x ; factor comun, reducerea
3 ⋅ 7 − 3 ⋅ 7 = (3 − 3 ) ⋅ 7 = 0 ⋅ 7 = 0 ; ax − ax = (a − a ) x = 0 ⋅ x = 0 ; termenilor asemenea
;
5 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ; 5 ⋅ 5 = 5 ; x = x ⋅ x ⋅ . . . ⋅ x x ⋅ x = x n+m ; ridicarea la putere, putere,
n
3
m
n
5
3+5
3
5 : 5 = 5 = 5 ; n m de n ori n m n⋅m proprietăți ale calculului
5
−2
3
3−5
n−m
( 5 ) = 5 = 5 . x : x = x ; ( x ) = x ; cu puteri
21
3 7
3⋅7
(x ⋅ y) = x ⋅ y ; (x : y) = x : y , y ≠ 0 .
n
n
n
n
n
n
3 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 3 = 3 ; x ⋅ x = x = x ; comutativitatea înmulțirii,
5
3+5
5
5
5+3
8
3
3
8
3
(4 ⋅ 3 ) ⋅ (5 ⋅ 3 ) = (4 ⋅ 5) ⋅ ( 3 ⋅ 3 ) = a x ⋅ b x = (a ⋅ b ) ⋅ ( x ⋅ x ) = ab x n+m ; efectuarea înmulțirii între
n
3
5
3
m
5
m
n
= 20 ⋅ 3 = 20 ⋅ 3 . a b ⋅ a bc = (a ⋅ a ) ( b ⋅ b ) ⋅ c = a b c . numere și între puteri de
4
3
3
3+5
2
2
3
8
aceeași bază
a _
4 : 4 = 4 = 4 = 4 ; a y : (b y ) = (a : b ) ⋅ ( y : y ) = y n−m , împărțirea nume relor și
n
2
n
m
3
m
1
3−2
b
(25 ⋅ 4 ) : (5 ⋅ 4 ) = (25 : 5) ⋅ ( 4 : 4 ) = 5 ⋅ 4 . y ≠ 0 , b ≠ 0 puterilor de aceeași bază
3
2
1
3
2
