Page 42 - matematica-viii

40 Calcul algebric în ℝ UNITATEA 2

Formule de calcul prescurtat

Reflectăm!

Considerăm două pătrate având laturile de lungimi a și b , a ≥ b , ariile lor

fiind egale cu a , respectiv b .
2
2

Expresia a − b reprezintă diferența dintre ariile pătratelor ABCD și MNRB ,

2
2

adică suma ariilor dreptunghiurilor AMPD și NRCP . Știind că A = a ,

2
ABCD

A = b , A = a(a − b) , A = b(a − b) , putem scrie relațiile A − A =

2
MNRB AMPD NRCP ABCD MNRB

= A + A , adică a − b = a(a − b ) + b(a − b) .

2
2
AMPD NRCP

2

2

Obținem formula de calcul prescurtat: a − b = (a − b) (a + b) .

Exersăm împreună!

1. Verificați prin calcule formula a − b = (a − b ) (a + b) .

2
2

Rezolvare: (a − b) (a + b ) = a + ab − ba − b = a − b .

2
2
2
2
Atenție! În acest caz verificarea este mai simplă dacă prelucrăm algebric membrul reprezentat de (a − b) (a + b) !
2. Calculați, aplicând formula de mai sus: _ _ _ _

11)

5

5

11) , 101 ⋅ 99 , 52 ⋅ 48 .
(2x + 3y ) (2x − 3y) , (3 + 2x) (3 − 2x) , (x − 3) (3 + x) , ( √ − √ ( √ + √ _ _ _ _

_
_
Rezolvare: (2x + 3y ) (2x − 3y ) = (2x) − (3y) = 4 x − 9 y ; ( √ − √ ( √ + √ 5 2 1 1 2

5

5

11) = √ − √ = 5 − 11 = − 6 ;

11)

2
2
2
2

101 ⋅ 99 = (100 + 1 ) (100 − 1 ) = 100 − 1 = 9999 ; 52 ⋅ 48 = (50 + 2 ) (50 − 2 ) = 2500 − 4 = 2496 (observăm că for-

2
2
mula poate ajuta la calcule cu numere).
Reflectăm!
Pătratul ABCD de latură a este împărțit de punctele M, N, P, Q în două pă-

trate de laturi a − b , respectiv b , având ariile (a − b) și b și dreptunghiurile

2
2

ADNM, ABQP de arii egale cu a ⋅ b . Dacă A = a , A = b , A = (a − b)

2
2
2
ABCD AMRP NCQR
și A = A = a ⋅ b , putem scrie: A = A − A − A + A , adică

ADNM ABQP NCQR ABCD ABQP ADNM AMRP
(a − b) = a − ab − ab + b .

2
2
2

Obținem formula de calcul prescurtat: (a − b) = a − 2ab + b .

2
2
2

Observăm: Dacă înlocuim b cu − b , obținem: (a + b) = a + 2ab + b . Verificați!
2
2
2
Exersăm împreună!

1. Verificați, prin calcul algebric, formulele: (a − b) = a − 2ab + b și (a + b) = a + 2ab + b .

2
2
2
2
2
2

Rezolvare: (a − b) = (a − b) (a − b) = a − ab − ba + b = a − 2ab + b . _

2
2
2
2
2
_
_

2. Calculați: (x + 2) , (2x − 3y) , (2abc − xy) , ( √ 10 x + 5y) , ( √ 10 x + 4) , (x − 3 √ , 101 , 99 .

5)

2
2
2
2
2
2
2
2

Rezolvare: (x + 2) = x + 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2 = x + 4x + 4; (2x – 3y) = (2x) – 2 ⋅ (2x) (3y) + (3y) = 4x – 12xy + 9y ;

2
2
2
2
2
2
2
2
2
101 = (100 + 1) = 10000 + 200 + 1 = 10201 (observăm că formula poate ajuta la calcule cu numere).
2
2