Page 46 - matematica-viii
P. 46
44 Calcul algebric în ℝ UNITATEA 2
Metoda formulelor de calcul prescurtat
Rețineți!
a + 2ab + b = (a + b) - membrul drept se numește binom sumă la pătrat;
2
2
2
a − 2ab + b = (a − b) - membrul drept se numește binom diferență la pătrat;
2
2
2
a − b = (a − b) (a + b) - membru stâng se numește diferență de pătrate.
2
2
Exersăm împreună!
1. x + 2xy + y = (x + y) Am aplicat prima formulă, după ce am identificat cei doi
2
2
2
2. x + 4x + 4 = x + 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2 = (x + 2) termeni ai binomului.
2
2
2
2
3. 4 x − 4x + 1 = (2x) − 2 ⋅ 2x ⋅ 1 + 1 = (2x − 1) Am aplicat a doua formulă, după ce am identificat cei doi
2
2
2
2
4. x − 6x + 9 = x − 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3 = (x − 3) termeni ai binomului.
2
2
2
2
5. x − 16 = x − 4 = (x − 4) (x + 4) Am aplicat a treia formulă, după ce am identificat cei doi
2
2
2
6. 9 x − 25 = (3x) − 5 = (3x − 5) (3x + 5) termeni ai diferenței de pătrate.
2
2
2
7. x + x + 1 = ( x + 2 x + 1) − x = ( x + 1) − x =
4
2
2
2
2
2
4
2
= ( x + 1 − x) ( x + 1 + x) = ( x − x + 1) ( x + x + 1) Am aplicat prima formulă și apoi a treia formulă.
2
2
2
2
Observație. Identificarea termenilor care să ne conducă la aplicarea uneia dintre cele trei formule este un pas
important în identificarea expresiilor la care putem aplica formulele.
Exersăm împreună!
2
2
2
1. x + x + 1 = x + ... + 1 nu se poate descompune prin utilizarea directă a formulelor de calcul prescurtat, de-
oarece avem doar pătratele a și b și nu avem 2ab ( 2ab trebuia să fie 2 ⋅ x ⋅ 1 !)
2
2
_
2. x + 2x + 2 = x + 2x + 1 + 1 = (x + 1) + 1 , care nu poate fi continuată, sau x + 2x + 2 = x + ...+ √ , la care ter-
2
2
2
2
2
2
2
_
2
menul lipsă ar trebui să fie 2 ⋅ x ⋅ √ ! Nu se poate descompune în factori folosind formulele.
3. x + 4 nu poate fi descompusă nici prin prima sau a doua formulă (lipsește un termen), nici prin ultima
2
(unde este diferența a două pătrate, nu suma!)
Metode combinate
Atunci când nu se identifică un factor comun la toți termenii sau termenii expresiei nu conduc spre aplica-
rea formulelor de calcul prescurtat, se recomandă grupări convenabile de termeni care să conducă la combinarea
metodelor anterioare.
Exersăm împreună!
1. ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by) = a (x + y) + b (x + y) =
= (x + y) (a + b)
2. a + a + a + 1 = ( a + a ) + (a + 1) = a (a + 1) + 1 ⋅ (a + 1) = Grupăm termenii doi câte doi, identifi-
2
3
2
2
3
= (a + 1) ( a + 1) când astfel un factor comun.
2
3. xy + 2x + 2y + 4 = x (y + 2) + 2 (y + 2) = (y + 2) (x + 2)
Grupăm primii trei termeni și utilizăm
4. x + 2xy + y + 3x + 3y = (x + y) + 3 (x + y) = formula de calcul prescurtat, iar din ul-
2
2
2
= (x + y) (x + y) + 3 (x + y) = (x + y) (x + y + 3) timii doi termeni scoatem factor comun
pe 3.
