Page 62 - matematica-viii
P. 62
60 Calcul algebric în ℝ UNITATEA 2
Rețineți!
2
4ac − b
b
b
b _
2
c _
c _
b _
b _
2
_
_
a x + bx + c = 0 ⇔ a ( x + x + ) = 0 ⇔ a x + 2 ⋅ x ⋅ + + − = 0 ⇔ a ( x + ) + _ 2 = 0 ⇔
2
2
2
2
4 a ]
[
a
4 a )
a
a
2a
(
2a
2
2
4 a
2
Δ
_
b _
⇔ a ( x + ) − = 0 , unde a ≠ 0! _ _
[
4 a ]
2a
2
√
Δ
Δ
b _
b _
_
Dacă Δ > 0 , atunci ecuația devine: a ( x + − _ ) ( x + + √ ) = 0 ⇔ a ( x − x ) ( x − x ) = 0 .
2a
2a
2a
2a
2
1
2
b _
Dacă Δ = 0 , atunci a ( x + ) = 0 .
2a
2
Δ
_
b _
Dacă Δ < 0 , ( x + ) − este sumă strict pozitivă de pătrate și nu se descompune.
2a
2
4 a
Am găsit o nouă metodă de descompunere: a x + bx + c = a ( x − x ) ( x − x ) , unde x , x sunt soluțiile ecuației
2
2
2
1
1
atașate a x + bx + c = 0 în cazul Δ ≥ 0.
2
Exersăm împreună!
1. Scrieți câte o ecuație de gradul al II-lea, cunoscând soluțiile în fiecare caz:
Soluţiile ecuaţiei Ecuaţia
x = 5, x = − 8 (x − 5 ) (x + 8 ) = 0 ⇔ x + 3x − 40 = 0
2
1 2
x = 3, x = − 3 (x − 3 ) (x + 3 ) = 0 ⇔ x − 9 = 0
2
1
2
x = 0, x = 4 x(x − 4 ) = 0 ⇔ x − 4x = 0
2
2
1
Observaţie. Cunoscându-se soluțiile unei ecuații de gradul al doilea, aceasta nu este unică: astfel, ecuațiile ata-
șate expresiilor (x − 5) (x + 8) = x + 3x − 40 și 2(x − 5) (x + 8) = 2 x + 6x − 80 au aceleași soluții x = 5, x = − 8 ! Mai
2
2
2
1
general, oricare ar fi numărul real nenul a , ecuațiile de forma a(x − 5 ) (x + 8 ) = 0 admit soluțiile x = 5, x = − 8 .
2
1
2. Determinați soluțiile ecuațiilor și descompuneți expresiile atașate ecuațiilor.
Ecuaţia Coeficienţii ecuaţiei Soluţiile Descompunerea expresiei ataşate
x − 5x + 6 = 0 a = 1, b = − 5, c = 6 Δ = 25 − 24 = 1, x = 2, x = 3 x − 5x + 6 = 1 ⋅ (x − 2 ) (x − 3)
2
2
1 2
x − 6x + 9 = 0 a = 1, b = − 6, c = 9 Δ = 36 − 36 = 0, x = x = 3 x − 6x + 9 = (x − 3 ) (x − 3 ) = (x − 3)
2
2
2
2
1
Notăm x = y și y − 5y + 4 = (y − 1 ) (y − 4) ,
2
2
rezolvăm ecuația
x − 5 x + 4 = 0 Δ = 25 − 16 = 9, y = 1, y = 4 x − 5 x + 4 = ( x − 1 ) ( x − 4 ) =
2
2
4
2
2
4
y − 5y + 4 = 0 cu coefi- 1 2 = (x − 1 ) (x + 1 ) (x − 2 ) (x + 2)
2
cienții a = 1, b = − 5, c = 4
3. Descompuneți în produs de expresii de gradul al II-lea:
a) ( x + 2x) ⋅ ( x + 2x − 4) + 3 ; b) ( x + 2x) ⋅ ( x + 2x + 2) − 3 .
2
2
2
2
Rezolvare: a) Notăm x + 2x = y și rezolvăm ecuația y(y − 4 ) + 3 = 0 ⇔ y − 4y + 3 = 0 ; obținem y = 1, y = 3 ;
2
2
1
2
y − 4y + 3 = (y − 1 ) (y − 3 ) = ( x + 2x − 1) ( x + 2x − 3) .
2
2
2
2
2
( x + 2x − 1) ⋅ ( x + 2x − 6) + 6
2
______________
2
4. Simplificați fracțiile: a) ( x + 3x + 1) ⋅ ( x + 3x + 3) + 1 ; b) _______________ .
( x + 3x + 1) − 1
( x + 2x − 1) ⋅ ( x + 2x − 4) + 2
2
2
2
2
Rezolvare: a) Descompunem ( x + 3x + 1) ⋅ ( x + 3x + 3) + 1 . Notăm ( x + 3x + 1) = y și descompunem y ⋅ (y + 2) + 1 =
2
2
2
= y + 2y + 1 = (y + 1) . Obținem ( x + 3x + 1) ⋅ ( x + 3x + 3) + 1 = ( x + 3x + 1 + 1) = ( x + 3x + 2) .
2
2
2
2
2
2
2
2
Descompunem ( x + 3x + 1) − 1 = [ ( x + 3x + 1) − 1] [ ( x + 3x + 1) + 1] = ( x + 3x) ( x + 3x + 2) .
2
2
2
2
2
2
( x + 3x + 1) ⋅ ( x + 3x + 3) + 1
2
2
2
2
_
______________ = ( x + 3x + 2) 2 2 = ( x + 3x + 2) (x + 1 ) (x + 2)
_
_
.
=
( x + 3x + 1) − 1
( x + 3x)
( x + 3x) ( x + 3x + 2)
2
x(x + 3)
2
2
2
