Page 61 - matematica-viii
P. 61
UNITATEA 2 Calcul algebric în ℝ 59
3. Verificați dacă x = 3 este soluție a ecuațiilor:
Observații
Ecuaţia Verificarea soluţiei
2
Am observat că ecuația x − x − 2 = 0 este
x − 5x + 6 = 0 3 − 5 ⋅ 3 + 6 = 0 relație adevărată, deci x = 3 este soluție echivalentă cu ecuația (x − 2) (x + 1) = 0 . Se
2
2
4 x − 5x + 6 = 0 4 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 + 6 = 0 fals, deci x = 3 nu este soluție poate remarca avantajul major pe care îl
2
2
aduce rescrierea unei ecuații de gradul al
2
4. Descompuneți expresiile asociate următoarelor ecuații și apoi de- II-lea de la forma generală a x + bx + c = 0
terminați soluțiile acestora: la o formă ce implică produs de factori egal
cu 0! Aveți astfel o motivație importantă
pentru a deține și exersa deprinderile de
Ecuaţia Descompunere Soluţii descompunere a unei expresii algebrice în
x(x − 5 ) = 0 ⇒ x = 0 sau factori.
x − 5x = 0 soluțiile sunt 0 și 5
2
x − 5 = 0 Deoarece există cazuri în care prelucrarea
algebrică a ecuației de gradul al II-lea nu
4(x − 3 ) (x + 3 ) = 0 ⇒ x − 3 = 0 soluțiile sunt permite descompunerea în factori, sau
4 x − 36 = 0
2
sau x + 3 = 0 3 și –3 aceasta este dificilă, rezolvarea poate par-
curge pașii prezentați în cele ce urmează.
x − 3x + x − 3 = 0 ⇔ soluțiile sunt
2
x − 2x − 3 = 0
2
⇔ (x − 3 ) (x + 1 ) = 0 3 și –1
Cazuri particulare
Rețineți! Dacă b = 0, ecuația devine
c _
a x + c = 0 ⇔ x = − .
2
2
a
c _
Etapele rezolvării ecuației a x + bx + c = 0 , cu a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 : Dacă − > 0 , ecuația are două soluții reale:
2
a
_
_
c _
c _
a) Etapa de identificare corectă a coeficienților a = . . . , b = . . . , c = . .. . x = − − , x = − .
2 √ a
1 √ a
b) Etapa de calcul al discriminantului ecuației, Δ = b − 4ac (obține- Dacă − = 0 , ecuația are două soluții reale
2
c _
a
rea valorii și evidențierea semnului acestuia). egale: x = x = 0 .
c) Etapa de interpretare a semnului discriminantului și, după caz, 1 2
c _
calculul soluțiilor: Dacă − < 0 , ecuația nu are soluții reale
a
(mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă).
I. Dacă Δ = b − 4ac > 0 , ecuația are două soluții reale și distincte: Dacă b ≠ 0, c = 0 ecuația devine
2
_ _
Δ
Δ
− b − √
_
.
x = _ x = − b + √ a x + bx = 0 ⇔ x(ax + b ) = 0 și are două
,
2
2a
2a
2
1
b _
II. Dacă Δ = b − 4ac = 0 , ecuația are două soluții reale egale: soluții reale: x = 0, x = − .
a
2
1
2
_
− b
x = x = (două soluții, o singură valoare!) . În aceste cazuri, rezolvarea se poate realiza
1 2 2a prin rescrierea ecuației folosind metode
III. Dacă Δ = b − 4ac < 0 , ecuația nu are soluții reale. de descompunere, fără a apela în mod ne-
2
cesar la pașii anteriori.
Exersăm împreună!
Rezolvați ecuațiile:
Ecuaţia şi coeficienţii Δ şi discuţie Soluţii
_
_
x − 5x + 6 = 0 Δ = b − 4ac = 25 − 24 = 1 − b − √ _
2
2
Δ
− b + √
Δ
_
= 3
a = 1, b = − 5, c = 6 Δ > 0 , două soluții reale distincte x = 2a = 2, x = 2a
1
2
x − 6x + 9 = 0 Δ = b − 4ac = 36 − 36 = 0 _
2
2
− b
2a
a = 1, b = − 6, c = 9 Δ = 0 , două soluții reale egale x = x = = 3
2
1
− x + x − 6 = 0 Δ = b − 4ac = 1 − 24 = − 23 < 0 ∅
2
2
a = − 1, b = 1, c = − 6 Δ < 0 , nu are soluții reale
_
_
x − 6x = 0 Δ = b − 4ac = 36 − 0 = 36 _ 6 + √ 36
2
2
6 − √ 36
_
a = 1, b = − 6, c = 0 Δ > 0 , două soluții reale distincte x = 2 = 0, x = 2 = 6
2
1
_
_
_
2 x − 5 = 0 Δ = b − 4ac = 0 + 40 = 40 0 − √ 40 _ _ _
_
2
2
0 + √ 40
√ 10
√ 10
_
a = 2, b = 0, c = − 5 Δ > 0 , două soluții reale distincte x = 4 = − , x = 4 =
2
2
2
1
