Page 59 - matematica-viii

UNITATEA 2 Calcul algebric în ℝ 57

11. Calculați, după ce găsiți domeniul de definiție pentru fiecare exercițiu:
_
x + 1
_

_
1
1
1
_
_

2x + 2
_
_
2x + 2
2

⋅

a) + x + x + ; b) + 2 : 2 ;

( x
2x + 1 ( x − x

x − x
x − x )
x − 1 )
x − 2x + 1

2
2

2

3x
3x
2x
1
2x
x
6 x + 10x

_
_
_
_
_

2
_
_

c) + : 1 − 6x + 9 x 2 ; d) − + : ;

3x + 1)
x − 1
(1 − 3x
x + 1 )
x − 1

2
( x − 1

x − 3
5
3x
1 − x
_
_
x + 1
_
_
_
2x

e) − 12x + 27 2 : _ ; f) _ + _ − x − 2 ⋅ ( 4 − ) ;

−

4x + 3
2x − 3)
9 − 4 x
(4x − 3
(2x + 3
x + 2
2x − 3

16 x − 9)
2
4 x

3
2
2x
1
2
2x
x + 1
_
_

_ _ : _ _ h) x + x + 2 + _ : ( − ) ;

+ ;

2
(2x + 1
g) − 2 2 1 − 2x) x − 2 x − 2 x − 1
4 x + 4x + 1) (4 x − 1
x − 2

x + 1

_
_
_
1 _
4
_
1 _
3

i) x + 6 + _ ( x − 3 − _ ) ; j) + 2 x − 1 x + x ) ( x )

:

+ x : 1 − ;
⋅
2x + 1
(x
x + 2
x + 1
x + 2
x − 2

x + 2x + 1
2
4x + x
3
x
_
_
.
k) − 1 + _ 2

⋅

(
x + 4 )
x − 3

(x − 1) − 4
2
1 _
_
1

12. Verificați dacă ( x − 1 + ) ⋅ ( 1 + ) = x , x ∈ ℝ − {− 1; 0} .

x
x + 1
3
_

x − 1
2

2
_
13. Verificați dacă F(x ) = ( − ) ⋅ _ depinde de x , unde x ∈ ℝ − {− 1; 1; 5} .

x + 1
2x − 10
x − 1

x − 4

2
2
_
_

14. Verificați dacă x − 4x + 4 4x + 8 ∈ ℤ , x ∈ ℝ − {− 2; 2} .

:
x − 2

x + 5x + 6
x
_ _ _ _
x + 1
2
x + 1
, cu x ∈ ℝ − {− 3; −2; 0; 2} .

( x − 2x x − 4 x + 2x) x − 4 x + 4x

15. Fie E (x) = 2 + − 2 : 3 2

2

a) Arătați că x –4 x + 4x = x · (x–2) și x + 5x + 6 = (x + 2) · (x + 3) .

3
2
2
2
x − 2
b) Arătați că E (x) = _ , x ∈ ℝ − {− 3; −2; 0; 2} .

x + 3
c) Dacă F (x) = E (x) ⋅ (x + 3) , calculați: F (3) + F (4) + . . . + F (2016) .

4
7x − 1
_
_ x − 2 x + 2 _
_

⋅ ( x + 3 + ) .
16. Considerăm E(x ) = 2 + x + 1 + 1 − x ) x − 1
( x − 1
a) Determinați domeniul maxim de definiție al lui E (x) .

b) Aduceți E(x) la forma cea mai simplă.
c) Pentru ce valori întregi ale lui x , E (x) ∈ ℤ ?

d) Pentru ce valori reale ale lui x , 2E (x) ≤ 2 ?
2x + 6
1
2
_ _ _ _
1

.

( x − 2x x + 2x x − 4) x − 4x

2
2
2

17. Fie E(x ) = − + : 3
a) Determinați domeniul maxim de definiție al lui E (x) .
_

b) Arătați că E (x) = x + 2 , x aparținând domeniului maxim de definiție.

x + 3
4 _
c) Rezolvați ecuația E (x) = .

5
d) Determinați valorile întregi ale lui x pentru care E (x) ∈ ℤ .

e) Determinați numerele reale x pentru care E (x) ≤ 1 .
Activitate practică
O aplicație în geometrie

Considerăm triunghiul ABC , AB = 10 cm , AC = 17 cm , BC = 21 cm și înăl-
țimea AD , D ∈ BC . Calculați lungimea înălțimii.

Rezolvare: Cum 21 > 17 + 10 , rezultă că unghiul A este obtuz, deci un-

2
2
2
ghiurile B și C sunt ascuțite. În concluzie, piciorul perpendicularei din A pe

BC este interior segmentului BC .
Notăm cu x lungimea segmentului BD și cu h lungimea înălțimii AD . Din teo rema lui Pitagora în cele două

x + h = 100 x + h = 100

2
2
2
2

triunghiuri dreptunghice ABD și ACD obținem 2 2 ⇔ 2 2 și, înlocuind
{ (21 − x) + h = 289 { 441 − 42x + x + h = 289
prima relație în a doua relație: 441 − 42x + 100 = 289 , deci x = 6 cm .

Reluând prima relație: 36 + h = 100 ⇒ h = 8 cm , unde am ținut cont că h este o distanță, deci nu poate avea
2
valori negative.