Page 63 - matematica-viii

UNITATEA 2 Calcul algebric în ℝ 61

Exersați
1. Verificați dacă x = − 1 este soluție a ecuațiilor:

a) x − 1 = 0 ; b) x − 2x + 1 = 0 ; c) x + 8x + 16 = 0 ; d) (4x + 3) + 8 = 0 .

2
2
2
2
2. Identificați coeficienții ecuațiilor:

a) x − 2x + 1 = 0 ; b) x + 8x + 16 = 0 ; c) x − 15 = 1 ; d) (4x + 3) + 8 = 0 .

2
2
2
2
3. Care dintre următoarele ecuații sunt ecuații de gradul al II-lea?
_
2 _

x

a) x − 15 = 1 ; b) − (5x + 6) − 4 = 0 ; c) √ + 2x + 1 = 0 ; d) + x + 3 = 0 .

2
2
2
2
x

4. Rezolvați în ℝ ecuațiile: a) x − 4x + 3 = 0 ; b) − 3 x + 243 = 0 ; c) − 4 x + 6x = 0 ; d) x − 15 = 1 ;

2
2
2
2

e) 3 x − 2x = 0 ; f) x + 5x − 6 = 0 ; g) − 4 x + 4x − 7 = 0 ; h) x − 7x + 10 = 0 ; i) x − 6x + 8 = 0 ; j) 5 x − 45 = 0 ;

2
2
2
2
2
2

k) − (5x + 6) − 4 = 0 ; l) x − 5x + 9 = 0 ; m) 3 x + 5x + 4 = 0 ; n) 2 x + 7x + 5 = 0 ; o) 9 x − 5x − 4 = 0 .

2
2
2
2
2
5. Scrieți câte o ecuație de gradul al II-lea pentru care se cunosc soluțiile: _ _

2

2
a) x = − 5, x = 2 ; b) x = − 3, x = 3 ; c) x = 1, x = 2 ; d) x = 4, 5 ; x = 2, 5 ; e) x = 1 − √ , x = 1 + √ .

2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
6. Rezolvați în ℝ ecuațiile, folosind descompunerea în factori:

a) (x + 4) − 25 = 0 ; b) 5 x + 20x = 0 ; c) (x − 1) − 4 = 0 ; d) − 0,6 x + 3,6x = 0 .
2
2
2
2

7. Determinați a ∈ ℝ , știind că ecuația 2 x + ax − 4 = 0, x ∈ ℝ are soluția − 4 . Rezolvați apoi ecuația pentru valoa-
2

rea determinată a lui a .
8. Descompuneți expresiile în factori:
_ _ _ _
5 _
1 _

a) 2 x + 9x + 10 ; b) x − 5x + 4 ; c) 7 x + x √ − 2 ; d) − 6 x + x + 1 ; e) x √ 10 − x √ 24 − √ 10 ; f) x − x + ;

8

2
2
2
2
2
2
6
6

g) ( x + 2x − 1) ⋅ ( x + 2x + 5) + 9 ; h) ( x + 2x) + 5 ( x + 2x) + 6 ; i) ( x + 2x − 1) ⋅ ( x + 2x + 4) + 6 .

2
2
2
2
2
2
2
9. Rezolvați în ℝ ecuațiile:
2 x
_
x

1
_
1 _
3 _
_
_
2

,

a) x + 11 = x + 3 , x ≠ − 2 ; b) + = , x ≠ − 1 , x ≠ 0 ; c) + 2x + 3 _ x ≠ ± 1 .

x
x − 1
2
x + 1
x − 1
x + 1

x + 2

= 2

10. Aduceți următoarele ecuații la forma a x + bx + c = 0 și apoi rezolvați-le în ℝ :

2
a) x(x + 3 ) = 4 ; b) (2x − 1) (−x + 3 ) = − 7 ; c) (x − 4) = 2x ; _

2
_

7
d) (3x − 1) = (x + 3) ; e) − 2x(x + 3) = 6 + x ; f) (5x − √ ) (5x + √ ) = 18x .

7

2
2
11. Determinați numerele reale x și y care au suma egală cu –3 și produsul egal cu –10.
12. Determinați dimensiunile laturilor unui triunghi dreptunghic, știind că acestea sunt exprimate prin trei nu-
mere naturale consecutive.
13. Calculați aria și perimetrul unui triunghi dreptunghic care are ipotenuza de 10 cm, știind că lungimea uneia
dintre catete este cu 2 cm mai mică decât lungimea celeilalte catete.

14. Determinați valoarea numărului real m pentru care ecuația x − 5x = 2m + 1 are soluții reale.

2
15. Determinați valorile întregi ale lui m pentru care soluțiile ecuației x + mx + 1 = 0 sunt numere întregi.
2
Investigație
Amprenta la sol a unei clădiri are forma unui dreptunghi cu
lungimea de 10 m și lățimea de 6 m. Proprietarul clădirii dorește
să construiască o bordură de beton în jurul acesteia, care să aibă
aceeași lățime pe toate laturile. Care este lățimea maximă a bor-
durii, dacă fondurile pe care le are proprietarul la dispoziție sunt

suficiente pentru a acoperi o suprafață de 17 m de bordură?
2
Rezolvare. Notăm cu x lățimea bordurii și calculăm aria supra-

feței acesteia: A = 2 ⋅ 10 ⋅ x + 2 ⋅ 6 ⋅ x + 4 ⋅ x .

2
bordură

Cum fondurile sunt suficiente pentru doar 17 m de bordură,
2

obținem ecuația: 4 x + 32x = 17 ⇔ 4 x + 32x − 17 = 0 ;

2
2
_ − 32 − 36 − 32 + 36

Δ = 32 + 4 ⋅ 4 ⋅ 17 ⇒ √ = 36 ; x = _ < 0 și x = _ = 0, 5

Δ

2
4 ⋅ 2
2 ⋅ 4
1
2
deci fondurile îi sunt suficiente pentru o lățime a bordurii de maximum 0,5 m!