Page 57 - matematica-viii

UNITATEA 2 Calcul algebric în ℝ 55

Expresii algebrice
3 − 6x
2 + 7x
x − 1
x + 1
_
, x ∈ ℝ − {− 2; − 1; 2} .

Considerăm expresia: E(x ) = _ + _ + 2 ⋅ ( x + 1 + _ )

x + 1
2 − x
x − 4)
(x + 2
a) Aduceți E(x) la forma cea mai simplă.
b) Pentru ce valori întregi ale lui x obținem E(x ) ∈ ℤ ?
c) Pentru ce valori reale ale lui x obținem E(x ) ≥ 1 ?
d) Are sens produsul E(1) ⋅ E(2) ⋅ E(3) ⋅ . . . ⋅ E(100) ? Argumentați.
Rezolvare:

(x − 1 ) (x − 2 ) − (x + 1 ) (x + 2 ) + 2 + 7x
2 + 7x
x + 1
2
x − 1
_
___________

=

=

a) E(x ) = _ − _ + _ ⋅ [ (x + 1 ) (x + 1 ) + 3 − 6x ___________________ ⋅ ( x + 2x + 1 + 3 − 6x

[x + 2 x − 2 (x − 2 ) (x + 2)] x + 1 ] [ (x − 2 ) (x + 2) ] x + 1 )

2
x + 2
_
_
=
= _ (x − 2) x − 2 , x ∈ ℝ − {− 2; −1; 2} .

⋅
(x − 2 ) (x + 2) x + 1 x + 1
_

b) E(x ) ∈ ℤ ⇔ x − 2 ∈ ℤ . Cum x ∈ ℤ , x + 1 | x − 2 și x + 1 | x + 1 , avem x + 1 | x + 1 − (x − 2 ) ⇔ x + 1 | 3 ; x + 1 ∈ {− 3; −1; 1; 3} .

x + 1
Obținem x ∈ {− 4; −2; 0; 2} . Dar x ∈ ℝ − {− 2; −1; 2} , așadar x ∈ {− 4; 0} .

− 3
x − 2
x − 2
c) E(x ) ≥ 1 ⇔ _ ≥ 1 ⇔ _ − 1 ≥ 0 ⇔ _ ≥ 0 . Cum − 3 < 0 , trebuie ca x + 1 ≤ 0 . Dar x + 1 ≠ 0 , așadar trebuie ca

x + 1
x + 1
x + 1
x + 1 < 0 ⇔ x < − 1 . Obținem x ∈ (− ∞ ; −1) . Cum domeniul de definiție este x ∈ ℝ − {− 2; −1; 2} , soluția inecuației este

x ∈ (− ∞ ; −1) − {− 2} .
d) Cum produsul conține E(2) și pentru x = 2 nu este definită expresia inițială, produsul respectiv nu are sens.
Observații
◼ A aduce o expresie algebrică, care presupune calcul cu fracții, la forma cea mai simplă înseamnă a efectua
calcule algebrice de tip factor comun, descompuneri, utilizarea de formule de calcul prescurtat, aduceri la ace-
lași numitor, adunare, scădere, înmulțire, reducere de termeni asemenea.
2 + 7x
_
x + 1
_
x − 1

În cazul exemplificat, forma cea mai simplă a expresiei E(x ) = _ + _ + 2 ⋅ ( x + 1 + 3 − 6x ) este

(x + 2
2 − x
x + 1
x − 4)
x − 2
E(x ) = _ , fiind echivalente pentru x ∈ ℝ − {− 2; −1; 2} .

x + 1
De regulă, înainte de a aduce o expresie de tipul dat la forma cea mai simplă, trebuie să avem în vedere preci-
zarea domeniului de definiție al expresiei inițiale, forma simplificată putând ascunde valori pentru care fracția
inițială nu se poate defini, dar fracția finală da!
1 _
x − 2

◼ La rezolvarea inecuației _ ≥ nu putem implica proprietatea fundamentală a proporțiilor, bazată pe în-

x + 1
1
mulțirea ambilor membri cu valori sau expresii, decât atunci când se cunoaște semnul acestora. Astfel, dacă nu-
mitorul este o expresie care variază ca semn (pentru anumite valori este pozitivă, pentru altele negativă sau 0),
se procedează ca în exemplul dat, cu trecerea tuturor fracțiilor într-un singur membru, apoi aducerea la același
numitor și cu studierea semnului fracției obținute. Reducem astfel problema la studiul semnului unei fracții
(prin compararea sa cu 0).
Proiect
Rezolvați, pe grupe de elevi, problema de mai jos. Comparați rezultatele cu cele ale celorlalte grupe și analizați
eventualele diferențe.
x − 3
_
2
1 − x
_
_
Fie expresia: E(x ) = _ − + 2 2 : 2 4x − 16

.

(x + 3
3 − x
x − 9) x + 6x + 9

a) Determinați domeniul maxim de definiție al lui E(x) . b) Aduceți E(x) la forma cea mai simplă.
c) Pentru ce valori întregi ale lui x , E(x ) ∈ ℤ ? d) Pentru ce valori reale ale lui x , E(x ) ≤ − 1 ?
e) Care dintre răspunsurile la cerințele anterioare poate diferi și de ce?