Page 112 - matematica-viii

110 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

f) trei perechi de muchii coplanare; g) două perechi de muchii necoplanare;
h) un triplet de muchii care au un punct comun. Câte astfel de triplete se pot forma (nu contează ordinea)?
5. Stabiliți numărul de vârfuri (v), numărul de muchii (m) şi numărul de fețe (f) şi verificați egalitatea
v + f - m = 2 pentru o piramidă:
a) triunghiulară; b) patrulateră; c) pentagonală; d) hexagonală.
6. Considerăm piramida patrulateră SPACE. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:
a) baza piramidei este patrulaterul PACE; b) SP ⊂ (PAC); c) E ∈ (SAP); d) C ∉ (PAE);
e) dreapta SA intersectează planul SEP într-un punct; f) AE ⊂ (PAC); g) SC ⊄ (PAC); h) (SAC) ∩ (PAE) = AC;
i) intersecția planelor (SAP) şi (SEC) este un punct; j) dreptele SA şi EC se intersectează;
k) dreptele SP şi SC sunt coplanare; l) dreptele PA şi CE nu sunt coplanare.
7. Demonstrați că, oricum am alege trei muchii ale unei piramide, cel puțin două dintre ele sunt în acelaşi plan.
8. În figurile alăturate sunt desfăşurările unor pira-
mide regulate, mai puțin ultima, din care lipseşte o
parte a desfăşurării. Precizați, pentru primele trei de-
sene, despre ce piramidă este vorba, iar pentru ulti-
mul desen, care este partea care lipseşte, unde poate fi
ea poziționată şi ce piramidă reprezintă.
Pentru problemele 9, 10 şi 11 alegeţi răspunsul corect.
9. Desenați o piramidă patrulateră regulată VABCD şi apotema VM corespunzătoare feței VBC. Se ştie că muchia
bazei AB este de 12 cm, iar muchia laterală VA este de 10 cm.
i. Suma lungimilor muchiilor piramidei este egală cu: a) 40 cm; b) 48 cm; c) 54 cm; d) 88 cm.
ii. Lungimea segmentului VM este egală cu: a) 6 cm; b) 8 cm; c) 10 cm; d) 12 cm.
10. Desenați o piramidă triunghiulară regulată SMNP şi apotema SA corespunzătoare laturii NP. Se ştie că suma
lungimilor muchiilor piramidei este egală cu 45 cm, iar SP = 9 cm.
i. Lungimea segmentului MN este egală cu: a) 5 cm; b) 6 cm; c) 8 cm; d) 9 cm.
_
_
_

3

3

ii. Lungimea segmentului SA este egală cu: a) 3 √ cm; b) 4,5 √ cm; c) 6 √ cm; d) 9 cm.

2

11. În piramida hexagonală regulată SABCDEF, lun gimea muchiei bazei este egală cu 11 cm, iar lungimea muchiei
laterale este cu 2 cm mai mare. Diferența dintre suma lungimilor muchiilor laterale şi suma lungimilor muchi-
ilor bazei este egală cu: a) 12 cm; b) 8 cm; c) 6 cm; d) 2 cm.
Care dintre informațiile problemei se poate modifica fără ca rezultatul să se modifice? Explicați!
12. În figura alăturată este reprezentată desfăşurarea suprafeței la terale a unei pira-
mide triunghiulare re gu la te. Punctele C, V şi C' sunt coliniare, iar patrulaterul ABCC'
este înscris într-un semicerc de diametru CC'. Demonstrați că piramida din care pro-
vine defăşurarea este un tetraedru regulat. Ajutați-vă de decupaje pentru a vă verifica!
13. Considerăm o piramidă SDEFGH şi diagonalele bazei care
pleacă din vârful D. Planele determinate de fiecare dintre aceste diagonale şi vârful pirami-
dei împart piramida în mai multe tetraedre. Precizați câte tetraedre se obțin şi numiți-le.
14. Considerăm o piramidă patrulateră regulată ASTUV. Câte tetraedre se pot forma având
vârful A şi ca bază suprafețe triunghiulare determinate de câte 3 dintre vârfurile bazei
STUV? Există printre acestea şi tetraedre regulate? Justificați.
15. Dintr-o foaie de hârtie decupați un triunghi echilateral cu latura de 16 cm. Pliați triun-
ghiul decupat astfel încât să obțineți un tetraedru regulat. Care este lungimea unei muchii
a acestuia? Comparați la nivelul clasei strategia utilizată atât pentru construcție, cât şi
pentru determinarea lungimii muchiei.
16. Dintr-o foaie de hârtie decupați un paralelogram cu măsura unui unghi de 60° şi lungimea uneia dintre laturi
egală cu dublul lungimii altei laturi. Pliați paralelogramul decupat astfel încât să obțineți un tetraedru regulat.
Comparați la nivelul clasei strategia utilizată pentru realizarea construcției.