Page 125 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 123

Exersăm împreună!
Reflectăm

Considerăm punctul M , mijlocul laturii AA’ a unui cub ABCDA’B’C’D’ . ➢ În plan, dacă două drepte distincte sunt
Construiți prin M paralele la: a) AB ; b) BB’ ; c) AD’ ; d) D’C ; e) A’C . perpendiculare pe a treia, atunci cele două
Rezolvare: drepte sunt paralele (demonstraţi): .
a, b, d ⊂ α , a ≠ b , a ⊥ d şi b ⊥ d ⇒ a ∥ b

O dreaptă şi un punct exterior ei determină un plan. Paralela prin M la ➢ Rămâne valabilă afirmaţia dacă cele trei
o dreaptă va fi conținută în planul determinat de ele. drepte distincte nu sunt coplanare? Exem-
Primul pas în rezolvare este identificarea planului determinat de plificaţi folosind muchii ale sălii de clasă
punctul M şi dreapta la care dorim să construim paralela. Construcția pa- (sau folosind trei creioane). Evidenţiaţi si-

ralelei se face ulterior, folosind proprietățile figurilor plane. tuaţii în care cele două drepte sunt para-
a) Punctul M şi dreapta lele şi situaţii în care ele nu sunt paralele.

AB determină planul (MAB ) =

= (ABB’A’) , iar paralela va fi
MN , unde N este mijlocul la- Activitate pe grupe

turii BB’ . Organizaţi-vă în grupe de elevi pentru a

b) Punctul M şi dreapta BB' stabili valoarea de adevăr a afirmaţiilor ur-
determină planul (MBB’ ) = (ABB’A’) , iar paralela mătoare, în contextul geo metriei în spaţiu.
este deja construită, AA’ ∥ BB’ . Argumentaţi în fiecare caz răspunsul.
Între grupe, comparaţi argumentele şi for-

c) Planul (M, AD’) = (ADD’A’) , iar paralela este mulaţi concluzii care sprijină învăţarea.

MP ∥ AD’ , unde P este mijlocul laturii (A’D’) − folo- Care dintre afirmaţiile următoare au sens
sind proprietatea liniei mijlocii în triunghi. şi în geometria plană? Care dintre cele care
d) Planul (M, D’C) este au sens îşi păstrează valoarea de adevăr şi

puțin mai greu de vizualizat, care îşi modifică valoarea de adevăr?
deci vom utiliza dreapta A’B , a) Două drepte care nu au puncte comune
se numesc drepte paralele.

A’B ∥ D’C (demonstrați), şi b) Două drepte pot fi: identice (confundate),
vom construi MR ∥ A’B , R concurente, paralele sau necoplanare.
fiind mijlocul laturii AB . Din c) Două drepte determină un plan.
tranzitivitate MR ∥ D’C şi, d) Prin orice punct se poate construi o pa-

cum printr-un punct exterior unei drepte se poate ralelă la o dreaptă dată.
e) Două drepte care nu au niciun punct
construi o singură paralelă la dreapta dată, atunci comun sunt paralele sau necoplanare.
MR este paralela căutată. f) Două drepte distincte, perpendiculare

e) Planul (M, A’C) este planul (ACC’A’) , iar para- pe o aceeaşi dreaptă, pot fi coplanare sau
lela este MO , unde O este mijlocul segmentului AC . necoplanare.

Unghiul a două drepte Exemplu
Două drepte concurente formează două perechi de unghiuri opuse la
vârf. Dacă dreptele nu sunt perpendiculare, două dintre unghiuri sunt as-
cuțite şi două sunt obtuze.
Definiție
Măsura unghiului dintre două drepte
concurente este cea mai mică dintre
măsurile unghiurilor formate la inter- Dreptele c şi d sunt drepte perpendiculare:

secția lor: a ∩ b = {O} , u° < v° (notăm c ⊥ d ⇔ ∢ (c, d) = 90°.

∢ (a, b) = u° şi citim măsura unghiului dintre dreptele a şi b este de u° ). e

Două drepte concurente sunt perpendiculare dacă măsura unghiului f
dintre ele este de 90°. Dreptele e şi f sunt paralele, unghiul dintre

Dacă două drepte coincid sau sunt paralele, atunci măsura unghiului ele este de 0°. Prin convenţie, unghiul din-
dintre ele este de 0°. tre două drepte confundate este tot de 0°.