Page 127 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 125

Exersați

1. Considerăm cubul ABCDA’B’C’D’ . Identificați pe desen:
a) trei drepte paralele cu BC ; b) patru drepte concurente cu BC ;
c) patru drepte necoplanare cu BC ; d) o dreaptă coplanară cu BC , nesituată pe aceeaşi față cu BC .
2. În paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH , precizați pozițiile relative ale următoarelor perechi de drepte:

a) AE şi CG ; b) AE şi BC ; c) AE şi ED ;

d) AE şi FH ; e) FH şi EG ; f) FH şi AC .

3. Considerăm prisma patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ . Demonstrați că:
a) AB ∥ C’D’ ; b) ABC’D’ paralelogram;
c) AD’ ∥ BC’ ; d) AD’ ∥ B’C .
⧸
4. Demonstrați că diagonalele unui paralelipiped dreptunghic sunt concurente.
5. Considerăm prisma hexagonală regulată ABCDEFA’B’C’D’E’F’ . Stabiliți pozițiile relative
ale următoarelor perechi de drepte:
a) BB’ şi EE’ ; b) BB’ şi F’E’ ; c) BB’ şi DE ; d) BC şi E’F’ ; e) CD şi E’F’ ;
f) BF şi C’E’ ; g) BC’ şi FE’ ; h) BE’ şi FC’ ; i) AD’ şi A’D .
6. În prisma triunghiulară dreaptă ABCDEF , punctele M, N şi P sunt mijloacele segmentelor BC, EF, respectiv AB.
Demonstrați că: a) MN ∥ BE ; b) AM ∥ DN c) MP ∥ DF.
7. Considerăm tetraedrul ABCD şi punctele M , N , P şi Q mijloacele muchiilor AB , BC , CD , respectiv DA .
a) Stabiliți pozițiile relative ale următoarelor perechi de drepte:
i) AD şi BC ; ii) AD şi NQ ; iii) MN şi CD ; iv) MQ şi AC ; v) PQ şi AC ; vi) NP şi BD .
b) Demonstrați că MNPQ este paralelogram.
c) Dacă, în plus, AC ≡ BD , demonstrați că MP ⊥ NQ .
8. Decupați dintr-un carton un trapez ABCD , AB ∥ CD , AB < CD . Îndoiți decupajul (fără a
plia) după linia mijlocie MN a trapezului. Demonstrați că:
a) dreptele AB şi CD (după îndoire) sunt paralele; b) dreptele AD şi BC sunt concurente.

9. Dacă A , B , C şi D sunt puncte distincte în spațiu, astfel încât dreptele AB şi CD sunt

paralele, iar segmentele AB şi CD sunt congruente, atunci cele patru puncte sunt vârfurile unui paralelogram?
10. Paralelogramele ABCD şi ABEF sunt situate în plane diferite. Demonstrați că:
a) CD ∥ EF ; b) CE ∥ DF ;
c) MN ∥ CE , unde M şi N sunt mijloacele segmentelor BD , respectiv BF .
11. Pătratele ABCD şi CDEF sunt situate în plane diferite astfel încât ∢ADE = 60° .
Calculați măsurile unghiurilor determinate de dreptele:
a) EF şi AB ; b) FC şi AB ; c) AD şi FC ; d) AE şi BC .
12. Considerăm cubul ABCDA’B’C’D’ . Determinați măsurile unghiurilor:

a) ∢ (AB, CC’) ; b) ∢ (AB, CD’) ; c) ∢ (CD’, A’B) ; d) ∢ (AD’, B’C) ; e) ∢ (AB, B’C’) ; f) ∢ (AD’, A’B) .

13. Considerăm piramida patrulateră regulată SABCD, cu toate muchiile congruente şi AC ∩ BD = {O} . Determinați
măsurile unghiurilor:

a) ∢ (SA, DC) ; b) ∢ (SA, SB) ; c) ∢ (AB, CD) ; d) ∢ (AB, CB) ; e) ∢ (SA, SC) ; f) ∢ (SO, AC) .
14. În tetraedrul regulat ABCD , punctele M şi N sunt mijloacele segmentelor AB şi BC . Calculați măsurile unghiu-

rilor determinate de MN cu dreptele AC, CD, res pectiv AD.
15. Considerăm rombul ABCD şi un punct S exterior planului rombului. Punctele M , N , P şi Q sunt mijloacele seg-

mentelor SA , SB , SC , respectiv SD . Demonstrați că MP ⊥ NQ .
16. Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu AB = 3 cm, BC = 2 cm, AA' = 4 cm şi punctul M ,
mijlocul muchiei BB’ . Calculați:
a) măsura unghiului determinat de dreptele CM şi DD’ ;
b) tangenta unghiului determinat de dreptele AM şi D’C’ .