Page 126 - matematica-viii
P. 126
124 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4
Teoremă
Reflectăm!
Teorema unghiurilor cu laturile respectiv paralele
➢ În plan, proprietatea unghiurilor cu la- Două unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente (dacă
turile respectiv paralele a fost studiată în sunt amândouă ascuțite, amândouă drepte sau amândouă obtuze) ori
anii anteriori şi este o consecinţă imedi- suplementare (dacă unul este ascuțit, iar celălalt este obtuz sau dacă sunt
ată a proprietăţii paralelelor tăiate de o
secantă. amândouă drepte): ∢ABC şi ∢A’B’C’ sunt ascuțite şi AB ∥ A’B’ , BC ∥ B’C’ ,
atunci ∢ABC ≡ ∢A’B’C’ .
Să considerăm două drepte necoplanare
a şi b . Construim printr-un punct oarecare
al spațiului, O , paralele la cele două drepte:
a’ ∥ a şi b’ ∥ b . Măsura unghiului plan care se
➢ În spaţiu, observaţi figura următoare în formează între dreptele a’ şi b’ este măsura
care am particularizat poziţia punctelor
astfel încât AB ≡ A’B’ şi BC ≡ B’C’ (cele două unghiului dreptelor a şi b şi nu depinde de
unghiuri sunt în plane diferite şi rămân va- alegerea punctului O: ∢ (a, b) = ∢ (a’, b’) .
,
labile ipotezele AB ∥ A’B’ BC ∥ B’C’ ). În practică, se recomandă să desenăm doar semidreptele care formează
Studiaţi patrulaterele ABB’A’ şi BCC’B’ şi, în unghiul ascuțit şi chiar să alegem punctul pe una dintre cele două drepte.
final, ACC’A’ .
Justificaţi congruenţa ΔABC ≡ ΔA’B’C’ şi ob-
ţineţi concluzia. Rețineți!
Măsura unghiului dintre două drepte necoplanare este mai mare
decât 0° şi cel mult egală cu 90°!
În cazul în care măsura unghiului dintre dreptele necoplanare este
egală cu 90°, vom spune că dreptele sunt perpendiculare (în spațiu)!
Definiție
Unghiul dintre două drepte oarecare este considerat unghiul dintre
paralelele duse la acestea printr-un punct dat.
Exersăm împreună!
Activitate în perechi
Considerăm prisma patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ . Calculați mă-
Împreună cu colegul de bancă, folosind 4 sura unghiului determinat de dreptele:
creioane, construiţi două unghiuri cu latu- a) BB’ şi DD’ ; b) AD şi CC’ ;
rile paralele, care să fie: c) AB şi A’C’ . d) Demonstrați că A'C'∥ AC .
• ambele ascuţite;
• ambele obtuze; Rezolvare:
• ambele drepte; a) BB’ ∥ AA’ şi AA’ ∥ DD’ , deci BB’ ∥ DD’ , rezultă
• unul ascuţit şi unul obtuz. ∢ (BB’, DD’) = 0° .
b) Cele două drepte sunt necoplanare şi alegem
punctul D prin care ducem o paralelă la CC’ . Ea este deja construită, pen-
tru că CC’ ∥ DD’, rezultă ∢ (AD, CC’) = ∢ (AD, DD’) = ∢ADD’ = 90° . În acest
caz, putem spune şi că AD ⊥ CC’ − cele două drepte sunt perpendiculare
Atenție! (în spațiu).
c) Considerăm prin A’ paralela la AB : A’B’ ∥ AB , rezultă
Înainte de a construi paralele, verificaţi ∢ (AB, A’C’) = ∢(A’B’, A’C’ ) = ∢B’A’C’ = 45° .
dacă acestea corespund unor drepte su-
port ale unor segmente deja date prin d) AA'∥ BB' ⇒ AA'∥ CC' şi AA'≡ BB' ⇒ AA'≡ CC' , deci ACC'A' parale-
desen, caz în care vă puteţi folosi de de- BB'∥ CC' } BB'≡ CC' }
senul iniţial! logram, de unde A'C'∥ AC .
