Page 128 - matematica-viii

126 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Dreaptă paralelă cu un plan. Plane paralele

Ne amintim!
Activitate pe grupe
Formaţi grupe și răspundeţi la cerinţă Dintre afirmațiile importante de la începutul capitolului, reamintim:
alegând unul dintre seturi. Pentru a for- Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparţin unui plan, atunci
mula răspunsurile, folosiţi foi de hârtie (ca
plane) și creioane (ca drepte)! Prezentaţi dreapta este inclusă în plan (A2).
răspunsurile în faţa clasei.
Observăm cubul din figura alăturată. Să studiem
Ce putem afirma despre poziţia unei poziția dreptelor AB, AF şi EF față de planul (ABC).
drepte faţă de un plan, dacă:  Punctele A şi B aparțin planului (ABC) , deci

AB ⊂ (ABC) .
– două puncte distincte ale dreptei sunt şi

ale planului?  Punctul F nu aparține planului (ABC) , con-
– un punct al dreptei nu este şi al planului? form definiției piramidei, iar A ∈ (ABC) . Despre
– un punct al planului este şi al dreptei? dreapta FA spunem că este secantă planului (ABC) sau că înțeapă (inter-

– un punct al planului nu este pe dreaptă? sectează) planul. Dreapta FA şi planul (ABC) au un sigur punct comun:

FA ∩ (ABC ) = {A} .
– o dreaptă din plan intersectează dreapta
dată?  Să observăm dreapta EF :
– nicio dreaptă din plan nu intersectează • EF ∥ AB , deci ea este inclusă în
dreapta dată? planul (FAB) .
– două puncte ale dreptei nu sunt şi ale • (FAB ) ∩ (ABC ) = AB .
planului?

– două puncte ale dreptei sunt de o parte • Dacă presupunem că dreapta EF ar

şi de alta a planului? intersecta planul (ABC) într-un punct
O , atunci acesta s-ar afla atât în planul
– o infinitate de puncte ale dreptei reprezintă (FAB) , cât şi în planul (ABC) , în conclu-
o mulţime de puncte comune cu planul? zie ar fi situat pe dreapta AB , comună celor două plane, ceea ce ar fi fals.
– o infinitate de puncte ale dreptei nu re-
prezintă puncte comune cu planul? • Dreapta EF şi planul (ABC) nu au niciun punct comun.
– o infinitate de puncte ale planului reprezintă
o mulţime de puncte comune cu dreapta? Definiție
– o infinitate de puncte ale planului reprezintă O dreaptă este paralelă cu un plan dacă dreapta şi planul nu au
o mulţime de puncte necomune cu dreapta? niciun punct comun.

Teoremă
O dreaptă paralelă cu o dreaptă dintr-un plan este fie paralelă cu
planul, fie conținută în planul respectiv.

În concluzie, poziţia unei drepte în raport cu un plan poate fi:

Dreapta AB este inclusă în planul α : Dreapta AB este secantă planului α Dreapta AB este paralelă cu planul α :
A, B ∈ α ⇒ AB ⊂ α (înțeapă planul): d ⊂ α, AB ∥ d ⇒ AB ∥ α
AB ∩ α = AB (dreapta are toate A ∈ α, B ∉ α ⇒ AB ∩ α = {A} AB ∩ α = ∅ (dreapta nu are niciun
punctele în comun cu planul) (dreapta are un singur punct comun cu planul)
punct comun cu planul)