Page 130 - matematica-viii

128 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Plane paralele

Ne amintim!

În prima parte a capitolului am învățat că:
 Trei puncte necoliniare determină un plan.
 Dacă două plane distincte au un punct comun,
atunci ele au o dreaptă comună.

În cubul ABCDEFGH din figura alăturată:
 planele (ABC) şi (ABD) au punctele necoliniare

A , B şi O comune, deci coincid;
 planul (ABC) are în comun cu planul (BCF) dreapta BC ;
 conform definiției prismei, planele (ABC) şi (EFG) sunt paralele.

Definiție
Două plane care nu au niciun punct comun se numesc plane paralele.

În concluzie, poziţiile relative a două plane pot fi:

Plane identice (confundate) – toate Plane secante – intersecția lor este Plane paralele – intersecția lor
punctele comune o dreaptă este mulțimea vidă
Pentru a argumenta că planele sunt Pentru a argumenta că planele sunt Pentru a argumenta că planele
identice este de ajuns să identifi- secante este de ajuns să identificăm sunt paralele este de ajuns să
căm 3 puncte necoliniare comune 2 puncte distincte comune planelor identificăm două drepte con-
planelor. şi un punct care aparține unui plan, curente într-unul dintre plane,
dar nu şi celuilalt. fiecare dreaptă fiind paralelă cu
celălalt plan.

Reflectăm! Exersăm împreună!
 Faceţi o comparaţie a celor trei situaţii Considerăm dreptele paralele a şi b şi

pentru plane cu cele trei situaţii referitoare două plane concurente α şi β , astfel încât

la poziţiile relative a două drepte (identice/ a ⊂ α , b ⊂ β şi α ∩ β = d , d diferită de a şi b.

concurente/paralele).
 Este suficient ca două plane să fie para- Demonstrați că d ∥ a ∥ b .

lele cu o dreaptă, pentru ca ele să fie para- Rezolvare. Presupunem că a ∩ d = {O} şi,
lele între ele? cum d ⊂ β , obținem că a ∩ β = {O} .
Pe de altă parte, a ∥ b şi b ⊂ β , deci dreapta

a este paralelă cu planul β , în contradicție cu
relația anterioară. În concluzie a ∥ d şi b ∥ d .