Page 129 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 127

Exersăm împreună!

Câte plane distincte conțin o aceeaşi
dreaptă? Imaginați o situație reală folosin-
du-vă de un caiet sau de o carte!

Considerăm un plan α şi o dreaptă d pa-

ralelă cu planul. Construim un plan β ce con-

ține dreapta d şi care intersectează planul α
după dreapta d’ . Demonstrați că dreptele
d şi d’ sunt paralele: d ∥ α, d ⊂ β, α ∩ β = d’ ⇒ d ∥ d’ .
Rezolvare. Dreptele d şi d’ sunt conținute în acelaşi plan, deci ele sunt

paralele sau concurente. Presupunând că sunt concurente, punctul lor de
intersecție ar fi în planul α ( d’ ⊂ α ) şi ar contrazice faptul că d ∥ α . Activitate în cooperare

Discutaţi la nivelul clasei şi stabiliţi valoa-
Teoremă rea de adevăr a următoarelor propoziţii.
Dacă o dreaptă d este paralelă cu un plan α şi este conținută într-un Folosiţi un creion (cu rol de dreaptă) şi o
plan β care intersectează planul α, atunci dreapta de intersecție a pla- foaie de hârtie (cu rol de plan) pentru a
nelor este paralelă cu dreapta d. construi contraexemple în cazul propozi-
ţiilor false:
1. Dacă d ∥ d’ şi d’ ⊂ α , atunci d ∥ α .

2. Dacă două drepte a şi b sunt paralele cu

Exersăm împreună!
un plan α , atunci a ∥ b .
3. Dacă o dreaptă d este paralelă cu un

Considerăm un plan α , un punct A ∈ α şi plan α , atunci dreapta d este paralelă cu

o dreaptă d ∥ α . Construim prin punctul A orice dreaptă din planul α .
dreapta d’ ∥ d . În aceste condiții, dreapta d’ 4. Printr-un punct exterior unui plan se
este inclusă în planul α . poate construi o singură dreaptă paralelă
cu planul dat.
Rezolvare. Considerăm planul deter- 5. Printr-un punct exterior unei drepte se

minat de dreapta d şi punctul A , β = (d, A) . poate construi un singur plan paralel cu
Aplicați teorema anterioară şi continuați demonstrația. dreapta dată.
6. Dacă dreptele d şi d’ sunt paralele,

atunci orice plan ce conţine dreapta d este
Teoremă paralel cu dreapta d’ .

Dacă o dreaptă d este paralelă cu un plan α şi printr-un punct al

planului, A ∈ α , construim o paralelă d’ la dreapta d , atunci această
dreaptă este conținută în plan, d’ ⊂ α .
Exersăm împreună!
Considerăm prisma patrulateră regulată
ABCDA’B’C’D’ şi punctul M mijlocul muchiei BB’ .
a) Demonstrați că AD ∥ (BCC’) .
b) Determinați dreapta de intersecție dintre
planul (ADM) şi planul (BCC’) .
Rezolvare.
a) AD ∥ BC pentru că ABCD pătrat şi, cum

BC ⊂ (BCC’) şi A ∉ (BCC’), rezultă AD ∥ (BCC’) .

b) AD ∥ (BCC’) , deci orice plan care conține dreapta AD va intersecta
planul (BCC’) după o dreaptă paralelă cu AD . Finalizați demonstrația de-

terminând poziția punctului N pentru care MN este dreapta de intersecție
a celor două plane.